[Risolto] Geometria analitica nello spazio

Il vettore $\vec{AB}=(5,1,-1)$

e la retta per $AB$ si scrive:

\begin{cases} x &= 5t+3 \\ y &= t-3 \\ z &= -t+2 \end{cases}

Quindi il generico piano perpendicolare a tale segmento è (fascio improprio di piani)

$5x+y-z+d=0$

adesso troviamo il piano di questo fascio improprio che passa per $P(-3,-1,1)$

$-15-1-1+d=0$

Quindi 

$d=17$

e quindi il piano ha eq.

$5x+y-z+17=0$

adesso si trova il punto di intersezione fra questo piano e la retta passante per $AB$:

$5(5t+3)+(t-3)-(-t+2)+17=0$

$27t+27=0$

$t=-1$

punto di intersezione: $M(-2, -4, 3)$

quindi la retta perpendicolare passa per $M$ e per $P$

$\vec{MP}=(-1,3,-2)$

\begin{cases} x &= -t-2 \\ y &= 3t-4 \\ z &= -2t+3 \end{cases}

Scrivi le equazioni parametriche della retta passante per il punto P(-3;-1;1), perpendicolare e incidente alla retta AB, con A(3;-3;2) e B(8;-2;1).

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Determino l’equazione parametrica della retta passante per i punti:

A(3, -3, 2)

B(8, -2, 1)

Quindi scrivo:

{x = 3 + (8 - 3)·t

{y = -3 + (-2 + 3)·t

{z = 2 + (1 - 2)·t

Cioè:

{x = 5·t + 3

{y = t – 3

{z = 2 – t

Determino quindi un piano perpendicolare a tale retta passante per il punto P(-3,-1,1)

Tale piano si ottiene imponendo il passaggio del generico fascio di piani impropri per P stesso:

5·x + y - z + d = 0  ------>   5·(-3) + -1 - 1 + d = 0------>  d - 17 = 0------> d = 17

5·x + y - z + 17 = 0

Il punto Q di intersezione con il piano  e la retta ottenuti sopra ha coordinate ottenibili dal sistema:

{5·x + y - z + 17 = 0

{x = 5·t + 3

{y = t – 3

{z = 2 – t

Per sostituzione:

5·(5·t + 3) + (t - 3) - (2 - t) + 17 = 0------->   27·t + 27 = 0-----> t = -1

{x = 5·(-1) + 3

{y = -1 – 3

{z = 2 – (-1)

Quindi Q(-2,-4,3)

Retta PQ:

P(-3,-1,1)

Q(-2,-4,3)

{x=-3+(-2+3)t

{y=-1+(-4+1)t

{z=1+(3-1)t

Quindi:

{x = -3+t

{y = -1-3t

{z = 1+2t

Il cursore C della retta AB è punto d'incidenza della richiesta retta PC se e solo se il prodotto scalare delle due direzioni è zero.
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* C = A + c*(B - A) ≡
≡ (x, y, z) = (3, - 3, 2) + c*((8, - 2, 1) - (3, - 3, 2)) ≡
≡ (x, y, z) = (3 + 5*c, - 3 + c, 2 - c)
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La retta PC, in completa analogia, risulta
* K = P + k*(C - P) ≡
≡ (x, y, z) = (- 3, - 1, 1) + k*((3 + 5*c, - 3 + c, 2 - c) - (- 3, - 1, 1)) ≡
≡ (x, y, z) = (- 3 + (6 + 5*c)*k, - 1 + (c - 2)*k, 1 + (1 - c)*k)
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* (5, 1, - 1).(6 + 5*c, c - 2, 1 - c) = 0 ≡
≡ 27*(c + 1) = 0 ≡
≡ c = - 1
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CONCLUSIONI
* punto d'incidenza: C(- 2, - 4, 3)
* retta PC: (x, y, z) = (- 3 + k, - 1 + k, 1 + 2*k)