[Risolto] Equazione iperbole con parametro k terzo esercizio

Ciao di nuovo.

Innanzitutto le dovute parentesi!

x^2/(3 - k) + y^2/(4·k + 3) = 1

quindi del tipo:  x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 oppure -x^2/a^2+y^2/b^2=1

Determina i valori di k affinché rappresenti : 

a) un'iperbole

Deve essere:

(3 - k)·(4·k + 3) < 0  

- 4·k^2 + 9·k + 9 < 0

La soluzione è:  k < - 3/4 ∨ k > 3

b)un'iperbole con i fuochi sulle y

Devono essere soddisfatte le due condizioni:

{k < - 3/4 ∨ k > 3

{3-k <0-------> k>3

Soluzione quindi: [k > 3]

c) un'iperbole con un fuoco di coordinate (0, - 2·√5)

(- 2·√5)^2 = (4·k + 3) - (3 - k)

20 = 5·k------> k = 4

d) un'iperbole che passa per il punto (5/2; - 3/4)

Devono essere verificate:

{k < - 3/4 ∨ k > 3

{(5/2)^2/(3 - k) + (- 3/4)^2/(4·k + 3) = 1

25/(4·(3 - k)) + 9/(16·(4·k + 3)) - 1 = 0

(64·k^2 + 247·k + 183)/(16·(3 - k)·(4·k + 3)) = 0

(k + 1)·(64·k + 183)=0

k = - 183/64 ∨ k = -1

DUBITO FORTEMENTE CHE TU INTENDESSI DAVVERO CIO' CHE HAI SCRITTO
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify+x%5E2%2F+3-k+--+y%5E2%2F4k--+3+%3D+1
cioè
* "x^2/ 3-k + y^2/4k + 3 = 1" ≡
≡ x^2/3 + k*y^2/4 = k - 2 ≡
≡ x^2/(3*(k - 2)) + y^2/(4*(k - 2)/k) = 1
e invece credo assai probabile che sia vera (anche se deontologicamente scorretta) l'interpretazione saltata all'occhio @LucianoP  : un po' di parentesi ti son rimaste nella tastiera!
x^2/(3 - k) + y^2/(4*k + 3) = 1
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Tuttavia per correttezza non aderisco né all'interpretazione letterale della tua scrittura né a quella di Luciano, ma invece mi mantengo sulle generali autorizzato in ciò da «... a me serve soprattutto, l'indicazione dello svolgimento per soddisfare tutte le richieste dei punti esposti.»
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RIPASSO
Ogni conica a centro non degenere, di semiassi (a, b), centrata nell'origine e riferita ai suoi assi di simmetria ha equazione riducibile alla forma
* (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
che rappresenta, secondo i doppi segni
* (±, ±) = (-, -): iperbole coi fuochi sull'asse y
* (±, ±) = (-, +): iperbole coi fuochi sull'asse x
* (±, ±) = (+, +): ellisse coi fuochi sull'asse maggiore
mentre
* (±, ±) = (+, -): non rappresenta una conica reale (somma di quadrati < 0).
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INDICAZIONE DELLO SVOLGIMENTO
Entrambe le interpretazioni della tua scrittura hanno la forma
* x^2/p + y^2/q = 1
col secondo membro esclusivamente positivo e i denominatori (p, q) entrambi funzione dell'unico parametro k.
Su ciò si svolgono le risposte.
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a) Per essere iperbole dev'essere
* x^2/p - y^2/q = ± 1
ma, per mantenere il secondo membro positivo, occorre che i denominatori siano discordi cioè che
* p*q < 0
Letterale: 3*(k - 2)*4*(k - 2)/k < 0 ≡ k < 0
Luciano: (3 - k)*(4*k + 3) < 0 ≡ (k < - 3/4) oppure (k > 3)
Attesa: (k < - 3/4) oppure (k > 3)
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b) Per avere i fuochi sull'asse y dev'essere
* x^2/p - y^2/q = - 1
che, per mantenere il secondo membro positivo, diventa
* - x^2/p + y^2/q = 1
cioè
* (p*q < 0) & (p < 0)
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c) Per avere un fuoco in F(0, - 2*√5) si deve avere
* c = √(a^2 + b^2) = √(p + q) = 2*√5 ≡ p + q = 20
insieme alle condizioni b, cioè
* (p*q < 0) & (p < 0) & (p + q = 20) ≡ (p < 0) & (q = 20 - p)
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d) Per avere "un'iperbole che passa per (5/2, - 3/4)" si deve avere
d1) anzitutto un'iperbole
* (x^2/p + y^2/q = 1) & (p*q < 0)
d2) e poi l'appartenenza
* ((5/2)^2/p + (- 3/4)^2/q = 1) & (p*q < 0) ≡
≡ (p < 25/4) & (p != 0) & (q = 9*p/(16*p - 100))