[Risolto] Geometria analitica nello spazio

Scrivo l'equazione del fascio di piani che hanno come cerniera la retta r:

x - y + z - 3 + λ·(2·x - 3·y - 6) = 0

riscrivo:

x·(2·λ + 1) - y·(3·λ + 1) + z - 6·λ - 3 = 0

Fra questi piani impongo la condizione di perpendicolarità con s dedotta dai coefficienti di t (tutti pari ad 1):

(2·λ + 1)·1 - (3·λ + 1)·1 + 1·1 = 0

1 - λ = 0----> λ = 1

x·(2·1 + 1) - y·(3·1 + 1) + z - 6·1 - 3 = 0

3·x - 4·y + z - 9 = 0

è il piano parallelo alla retta s.

Scrivo la distanza di un qualsiasi punto di s da questo piano: sarà la distanza fra le due rette cercata!

{x = 1 + t

{y = -1 + t

{z = 1 + t

Quindi prendo ad esempio t=0:

[1, -1, 1] è il punto che avrà quindi distanza dal piano trovato pari a:

d = ABS(3·1 - 4·(-1) + 1 - 9)/√(3^2 + (-4)^2 + 1^2)

d = √26/26

Secondo il suggerimento fisso due punti su r in modo qualsiasi,

ad esempio scelgo la coordinata x

x = 0

- y + z = 3

-3y = 6

 

y = -2 e z = 1

H = (0, -2, 1)

x = 1

- y + z = 2

2 - 3y - 6 = 0

y = -4/3

z = 2 + y = 2/3

 

K = (1, -4/3, 2/3)

Perché il piano passante per H e K sia pure parallelo a s

essendo vs = (1 1 1) deve risultare

a + b + c = 0 => c = -a - b

ax + by - (a+b) z + d = 0

0 - 2b - (a+b) 1 + d = 0 => d = a + 3b

a - 4/3 b - 2/3 (a+b) + d = 0

d = -a + 4/3 b + 2/3a + 2/3 b

d = -a/3 + 2b

dunque

a + 3b = - a/3 + 2b

b = -4a/3

Scelto a = 3, b = -4, c = -3 + 4 = 1, d =-1 -8 = -9

3x - 4y + z - 9 = 0

Sulla retta r, si fissa un punto qualunque : posto t = 0, si trova il punto (1, -1, 1)

e la sua distanza dal piano é

L = |3+4+1-9|/rad(9+16+1) = 1/rad(26) oppure rad(26)/26

 

 

 

 

Le rette
* r ≡ (x - y + z - 3 = 0) & (2*x - 3*y - 6 = 0) ≡
≡ (x = k) & (y = 2*k/3 - 2) & (z = 1 - k/3)
* s ≡ (x = 1 + t) & (y = - 1 + t) & (z = 1 + t)
sono il luogo dei loro cursori
* R(k, 2*k/3 - 2, 1 - k/3)
* S(1 + t, - 1 + t, 1 + t)
che hanno come quadrato della distanza la funzione
* |RS|^2 = z(k, t) = (14*k^2 + 30*k - 24*k*t + 9*(3*t^2 + 4*t + 2))/9
il cui minimo, che esiste senz'altro, è il quadrato della distanza fra le rette.
Esame degli estremi
* ∇[z(k, t)] = ((2/9)*(15 + 14*k - 12*t), 4 - 8*k/3 + 6*t) = (0, 0) ≡
≡ (k, t) = (- 69/26, - 24/13)
e l'unico zero del gradiente deve consistere nelle coordinate del minimo nel piano dei parametri, da cui
* R(- 69/26, 2*(- 69/26)/3 - 2, 1 - (- 69/26)/3) = (- 69/26, - 49/13, 49/26)
* S(1 + (- 24/13), - 1 + (- 24/13), 1 + (- 24/13)) = (- 11/13, - 37/13, - 11/13)
* |RS| = √(301/26) ~= 3.4