[Risolto] Geometria analitica nello spazio

Ex.290

Porto le due rette alla forma parametrica

Prima retta

{x + y - 6 = 0

{2·x + z - 12 = 0

pongo z = t quindi:

2·x + t - 12 = 0-----> x = 6 - t/2

poi y = 6 - x----> y = 6 - (6 - t/2)----> y = t/2

ottengo quindi:

{x = 6 - t/2

{y = t/2

{z = t

Seconda retta

{2·x + z = 0

{x + y - 3 = 0

pongo z = t

2·x + t = 0-----> x = - t/2

- t/2 + y - 3 = 0-----> y = t/2 + 3

ottengo:

{x = - t/2

{y = t/2 + 3

{z = t

Riconosco nelle due rette assegnate che hanno la stessa direzione. Quindi che sono parallele che comporta il fatto che siano complanari.

Determinazione del piano che contiene le due rette

a·x + b·y + c·z + d = 0

Per determinarlo considero 3 punti che posso scegliere 2 appartenenti alla prima retta ed uno appartenente alla seconda retta (non sono complanari)

Per t=0 dalla 1^ retta ottengo: [6, 0, 0]

Per t=1 dalla 1^ retta ottengo:

{x = 6 - 1/2= 11/2

{y= 1/2

{z= 1

[11/2, 1/2, 1]

Per t=0 dalla 2^ retta ottengo: [0, 3, 0]

Quindi il passaggio per tali tre punti comporta il sistema:

{a·6 + b·0 + c·0 + d = 0

{a·(11/2) + b·(1/2) + c·1 + d = 0

{a·0 + b·3 + c·0 + d = 0

Quindi risolvo:

{6·a + d = 0

{11·a/2 + b/2 + c + d = 0

{3·b + d = 0

ed ottengo:

[a = - d/6 ∧ b = - d/3 ∧ c = d/12]

quindi:

- d/6·x + - d/3·y + d/12·z + d = 0

2·x + 4·y - z - 12 = 0