[Risolto] Geometria analitica

Possibile che tu sia iscritto da quindici mesi e ancora non abbia capito che devi presentare un solo esercizio per domanda? E che è un reato chiedere lo svolgimento di un compito in classe da copiare?
Ti scrivo un piccolo promemoria che puoi stampare e mettere nel libro (per occasioni future) e qualche calcolo sui tuoi dati così verifichi il compito che ne frattempo avrai consegnato.
Pubblico nel pomeriggio, a scuola chiusa.
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Circa i quattro principali punti notevoli del triangolo non degenere con
* vertici A(j, u), B(k, v), C(h, w) non allineati (area S > 0)
* lati a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|
le coordinate di due di essi si trovano come medie (semplice per G, pesata coi lati per I) di quelle dei vertici
* baricentro G(X, Y) = ((j + k + h)/3, (u + v + w)/3)
* incentro I(X, Y) = ((a*j + b*k + c*h)/(a + b + c), (a*u + b*v + c*w)/(a + b + c))
mentre le coordinate degli altri due si devono trovare con calcoli più o meno impegnativi.
NOTE
Se il problema non richiede le lunghezze dei lati allora conviene calcolare l'incentro I col metodo delle distanze.
Se si calcola l'incentro I con questo metodo allora l'inraggio r è la distanza fra I e un lato.
Con la soluzione si scrive l'incerchio Γ
* Γ ≡ (x - X)^2 + (y - Y)^2 = r^2
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L'ortocentro H(X, Y) è definito come incrocio delle altezze, ma calcolarlo così è oneroso.
Si fanno meno calcoli applicando un Teorema di Eulero (uno dei tanti!)
«In ogni triangolo il circumcentro K, il baricentro G e l'ortocentro H sono allineati (sulla Retta di Eulero) e la distanza tra il circumcentro K e il baricentro G è metà della distanza tra il baricentro G e l'ortocentro H.» cioè, sulla retta r ≡ KG, H è dalla parte opposta di K rispetto a G con |KG| = |GH|/2.
Ovviamente il metodo conviene solo se G e K sono già stati calcolati.
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Il circumcentro K(X, Y) è l'unico punto del piano equidistante dai vertici, e tale comune distanza è il circumraggio R; si determina risolvendo il sistema di tre equazioni nelle incognite (X, Y, R)
* |KA|^2 = |KB|^2 = |KC|^2 = R^2
che sembra di ottavo grado, ma è lineare perché i quadrati si elidono.
Con la soluzione si scrive il circumcerchio Γ
* Γ ≡ (x - X)^2 + (y - Y)^2 = R^2
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L'incentro I(X, Y) è l'unico punto del piano, interno ad ABC (gli altri tre sono gli excentri), equidistante dai lati, e tale comune distanza è il l'inraggio r; si determina risolvendo il sistema di tre equazioni nelle incognite (X, Y, r)
* |Ia|^2 = |Ib|^2 = |Ic|^2 = r^2
e poi isolando, fra le quattro soluzioni quella interna.
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Triangolo A(1, 2), B(7, 2), C(4, 5): ortocentro
Baricentro G = ((1 + 7 + 4)/3, (2 + 2 + 5)/3) = (4, 3)
Circumcentro K(X, Y)
* |KA|^2 = |KB|^2 = |KC|^2 = R^2 ≡
≡ (X - 1)^2 + (Y - 2)^2 = (X - 7)^2 + (Y - 2)^2 = (X - 4)^2 + (Y - 5)^2 = q ≡
≡ (q = 9) & (X = 4) & (Y = 2) ≡
≡ K(4, 2)
Ortocentro H(X, Y)
Nell'allineamento KGH (Retta di Eulero), dovendo avere |KG| = |GH|/2, si definisce un cursore parametrico P(k) tale che
* (P(0) = K) & (P(1) = G) & (P(3) = H)
quindi
* P = K + k*(G - K) = (4, 2) + k*((4, 3) - (4, 2)) = (4, 2 + k)
* P(3) = H(4, 5)
che si sarebbe trovato a colpo d'occhio osservando che K e G sono sulla x = 4, se io non avessi voluto illustrarti il metodo generale.
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Triangolo A(0, 4), B(- 3, 0), C(16/3, 0), rettangolo in A: incerchio
Il criterio di selezione dell'incentro I(X, Y) fra i quattro punti soluzione è, all'ingrosso, (- 3 < X < 16/3) & (0 < Y < 4); oppure, con precisione, (Y < 4*X/3 + 4) & (Y > 0) & (Y < 4 - 3*X/4).
Il sistema
* |Ic|^2 = |Ia|^2 = |Ib|^2 = r^2 ≡
≡ |(4*X - 3*Y + 12)/5| = |Y| = |(3*X + 4*Y - 16)/5| = r ≡
≡ (r, X, Y) ∈ {(5/3, 1/3, 5/3), (10/3, - 14/3, 10/3), (5, 7, 5), (10, 2, - 10)}
da cui
* I(1/3, 5/3)
* Γ ≡ (x - 1/3)^2 + (y - 5/3)^2 = (5/3)^2 ≡
≡ 9*(x^2 + y^2) - 6*(x + 5*y) + 1 = 0

AB = 7 - 1 = 6;

AC = BC = 3 * radice(2);  isoscele;

CH = 3; altezza.

Baricentro;

xb = (xA + xB + xC) / 3;

yb = (yA + yB + yC) / 3;

xb = (1 + 7 + 4) / 3 = 12/3 = 4; ascissa;

yb = ((2 + 2 + 5) /3 = 9/3 = 3; ordinata;

Baricentro (4; 3); punto di incontro delle mediane.

Incentro; ci vuole il perimetro:

Perimetro = a + b + c = 3 radice(2) + 3 radice(2) + 6 = 6 radice(2) + 6;

Perimetro = 6 * [radice(2) + 1];

lati a; b; c; 

lati del triangolo

a = BC; b = AC; c = AB

xi = (a xa + b xb + c xc) ( (a + b + c);

yi = (a ya + b yb + c yc) ( (a + b + c);

xi = [3 rad(2) * 1 + 3 rad(2) * 7 + 6 * 4) /{6 * [rad(2) + 1]}

yi = [3 rad(2) * 2 + 3 rad(2) * 2 + 6 * 5) /{6 * [rad(2) + 1]}