[Risolto] Geometria analitica

la superficie di equazione

$x^2+y^2+z^2-12x-8y-4z+47=0$ è una sfera di centro

$C(6,4,2)$ e di raggio $R=3$.

si ricorda che l'equazione della sfera, chiamando $a$,$b$,$c$ le coordiante del centro e $R$ il raggio, si scrive come:

$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+a^2+b^2+c^2-R^2=0$

Affinchè il piano sia tangente la sfera è sufficiente dimostrare che la distanza del piano del centro $C$ sia pari al raggio $R$

Dette $x_A$, $y_A$, $z_A$ le coordinate di un punto $A$, la formula della distanza punto piano è:

$d=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

sostituendo i numeri

$d=\frac{|2*6-4+2*2-3|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{|9|}{\sqrt{9}}=9/3=3$

essendo $d=R$ abbiamo dimostrato che il piano è tangente la sfera.