[Risolto] Geometria analitica

Mettendo a sistema le equazioni a due a due si ottengono i vertici del triangolo.

y = - x + 3 con $ y = \frac 1 3 x - 1 $ danno il punto A(3; 0)

y = - x + 3 con 3y + x - 9 = 0 dà il punto B(0; 3)

$ y = \frac 1 3 x - 1 $ con 3y + x - 9 = 0 dà il punto C(6; 1)

Per il perimetro calcolando le distanze si ottiene

$ 3 \sqrt 2 + 2\sqrt {10} + \sqrt {10} $  = $ 3 \sqrt 2 + 3 \sqrt {10} $ 

NB il teorema di Pitagora non è soddisfatto poiché 10 + 18 è diverso da 40 per cui il triangolo non è rettangolo

Dalla figura si evince che per calcolare l’area è sufficiente togliere dalla area del rettangolo (18) le tre aree colorate ($ \frac 3 2 $ quella verde,$ \frac 9 2 $ quella rossa, 9 quella gialla) ottenendo 3.

Il baricentro si ottiene dalle medie delle coordinate:

M($ \frac{0 + 3 + 6} 3$ ;$ \frac{3 + 0 + 1} 3 ) = (3; \frac 4 3) $

Infine il circocentro incontro degli assi dei lati…

la retta perpendicolare alla prima per il punto medio ha equazione

y = x.

La retta perpendicolare alla terza (più facile) per il punto medio ha equazione 

y = 3x - 7

Messe a sistema danno il punto $( \frac 7 2; \frac 7 2) $

Se si trovasse la terza perpendicolare per il punto medio della seconda retta si potrebbe verificare che il circocentro appartiene anche a quest’ultima 

Riassunto grafico

@lenaooo

Ciao. Ti fornisco la soluzione grafica del problema:

 

 

Per determinare baricentro (G), circumcentro (O) ed area (S) occorrono e bastano le coordinate dei tre vertici (A, B, C), per il perimetro (p) servono le misure dei lati (a, b, c) opposti ai vertici omonimi, per l'incentro (I) servono tutt'e due.
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Perciò dai tre dati
* r ≡ y = 3 - x
* s ≡ y = x/3 - 1
* t ≡ y = 3 - x/3
si calcolano anzitutto
* r & s ≡ (y = 3 - x) & (y = x/3 - 1) ≡ B(3, 0)
* r & t ≡ (y = 3 - x) & (y = 3 - x/3) ≡ A(0, 3)
* s & t ≡ (y = x/3 - 1) & (y = 3 - x/3) ≡ C(6, 1)
* a = |BC| = √10
* b = |AC| = 2*√10
* c = |AB| = 3*√2
* p = a + b + c = √10 + 2*√10 + 3*√2 = 3*(√2 + √10) ~= 13.7
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poi S e G direttamente da A, B, C
* S = (1/2)*|xA*(yB - yC) - xB*(yA - yC) + xC*(yA - yB)| =
= (1/2)*|0*(0 - 1) - 3*(3 - 1) + 6*(3 - 0)| = 6
* xG = (xA + xB + xC)/3 = (0 + 3 + 6)/3 = 3
* yG = (yA + yB + yC)/3 = (3 + 0 + 1)/3 = 4/3
* G(3, 4/3)
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mentre per il circumcentro O, centro della circonferenza circoscritta, non bastano solo i valori delle coordinate, ma si deve trovare l'unico punto O(xO, yO) del piano equidistante dai vertici (e la comune distanza è il circumraggio R)
Questa considerazione dà luogo a tre equazioni in {xO, yO, R}
* |OA|^2 = |OB|^2 = |OC|^2 = R^2 ≡
≡ x^2 + (y - 3)^2 = (x - 3)^2 + y^2 = (x - 6)^2 + (y - 1)^2 = R^2 ≡
≡ (x = 7/2) & (y = 7/2) & (R = 5/√2)
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Infine per l'incentro I, centro della circonferenza inscritta, cioè l'unico punto del piano equidistante dai lati (e la comune distanza è l'inraggio r), si calcolano le sue coordinate come media ponderata delle omologhe coordinate dei vertici con pesi le misure dei lati opposti
* xI = (a*xA + b*xB + c*xC)/(a + b + c) = √5 + 1
* yI = (a*yA + b*yB + c*yC)/(a + b + c) = 1
* I(√5 + 1, 1)