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Livello 0
@saraaaaaaaaaaaaaaaaaaa al momento mi è scomodo rispondere dato che non posso gestire le matrici in LaTeX da telefono, appena possibile invierò la soluzione. Volevo chiederti se potessi condividere un pdf di questo capitolo di geometria analtica nello spazio (teoria + esercizi) dato che questo manuale sembra avere degli esercizi interessanti e vorrei aggiungerne alcuni svolti nella sezione di geometria affine del manuale di geometria I che sto stilando.
Soluzione sintetica:
Per il punto (a) risolvi il sistema tra le due espressioni date, trova $t$ e $k$ e sostituiscili in una delle due espressioni per ricavare il punto di intersezione $H$.
Per il punto (b) fissa il punto $P$ e applica su di esso lo span del vettore $\vec{PH}$.
Per il punto (c) fissa il punto $Q$ e utilizza la direzione di $r$ e un vettore $\vec{PP'}$ con $P'$ su $r$. Per l'equazione cartesiana è necessario procedere tramite il determinante (teorema degli orlati) ponendo una condizione sul rango della matrice con il punto $X\equiv(x,y,z)$ traslato di $Q$ e i vettori dello span.
@RebC...👍👌👍🌷
a. Mettiamo a sistema le 6 equazioni. Per confronto si riducono alle seguenti 3
$\begin{cases} t = 4+2k \\ 1-t=-1-k\\t = 2+k \end{cases}$
Che ammette come soluzione
$ k = -2 \quad ∧ \quad t = 0$
Scegliamo quest'ultima, t = 0. Il punto di intersezione è Q(0,1,0)
b. Retta p: passante per P(1, 2, 1) e Q(0,1,0)
$ p: = P + t(P-Q)$ cioè
$ p: \begin{cases} x=1+t \\ y = 2+t \\ z = 1+t \end{cases} $
c. Piano Π:
Direzione retta $p: \; v_p(1,-1,1)$
P(0, 2, 3) mentre Q( 0, 1, 0) ne consegue che direzione $\bar{PQ} = Q-P =(0, -1, 3) $
con il prodotto vettoriale determiniamo il vettore perpendicolare ai due vettori
$ \vec{n} = v_p ∧ \bar{PQ} =(1, -1, 1) ∧ (0, -1, 3) = (-2, -3, -1) = (2, 3, 1)$
$Π: 2x+3y+z+d = 0 $
Il piano contiene Q per cui $ 3+d=0 \; ⇒ \; d = -3$ quindi
$Π: 2x+3y+z-3 = 0 $
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Livello 6
@cmc 👍👌👍
retta r:
{x = t
{y = 1 - t
{z = t
retta s:
{x=4 + 2·k
{y=-1 - k
{z=2 + k
Se le due rette sono incidenti hanno un punto in comune, quindi deve essere:
{t = 4 + 2·k
{1 - t = -1 - k
{t = 2 + k
sistema verificato per [k = -2 ∧ t = 0]
Retta per due punti nello spazio in forma parametrica:
P [1, 2, 1]
A [0,1,0] ottenibile per t=0 (è il punto di intersezione di r e di s)
{x = 1 + α·t
{y = 2 + β·t
{z = 1 + γ·t
per t = 0 otteniamo P
per t = 1 otteniamo A
{0 = 1 + α·1
{1 = 2 + β·1
{0 = 1 + γ·1
da cui:
{α = -1
{β = -1
{γ = -1
quindi:
{x = 1 - t
{y = 2 - t
{z = 1 - t
------------------------------
Ultimo punto
a·x + b·y + c·z + d = 0
deve passare per [0, 2, -3] e contenere la retta r:
{x = t
{y = 1 - t
{z = t
Basta considerare altri due punti appartenenti a tale retta:
per t=0: [0,1,0]
per t=1: [1, 0, 1]
quindi facciamo passare il piano per questi tre punti.
{a·0 + b·2 + c·(-3) + d = 0
{a·0 + b·1 + c·0 + d = 0
{a·1 + b·0 + c·1 + d = 0
cioè risolviamo il sistema:
{2·b - 3·c + d = 0
{b + d = 0
{a + c + d = 0
otteniamo: [a = - 2·d/3 ∧ b = -d ∧ c = - d/3]
(- 2/3·d)·x + (-d)·y + (- d/3)·z + d = 0
2·d·x/3 + d·y + d·z/3 - d = 0
(2·d·x/3 + d·y + d·z/3 - d = 0)·(3/d)
2·x + 3·y + z - 3 = 0
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Genius III
@lucianop 👍👌👍