Geometria analitica

a.

a.1 Determiniamo le coordinate di P utilizzando la trasformazione di simmetria centrale

$ \left\{ \begin{aligned} x' &= 2x_R - x_Q \; ⇒ \; 2 \cdot 2-3 = 1\\y' &=2y_R - y_Q\; ⇒ \; 2 \cdot 4-6 = 2 \\ z' &=2z_R - z_Q \; ⇒ \; 2 \cdot 7-6 = 8 \end{aligned} \right. $

Le coordinate di P(1, 2, 8)

a.2 Equazione della superficie sferica

$(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = r^2 $

$ x^2+y^2+z^2 -2x-4y-6z+14 = r^2$

la superficie sferica che passa per P(1, 2, 8)

1+4+64-2-8-48+14 = r²

cioè r² = 25

L'equazione della nostra superficie sferica è

$ x^2+y^2+z^2 -2x-4y-6z-11 = 0$

b. 

Sappiamo che la retta passante per il centro C della sfera e il punto di tangenza T è ortogonale al piano tangente.

Il vettore direzione del piano tangente α è $v_α = (3, 4, 0)$

La retta passante per C(1,2,3) avente direzione $v_α = (3, 4, 0)$ ha equazione parametrico

$ \left\{\begin{aligned} x &= 1+3t \\ y &= 2 + 4t \\ z &= 3 \end{aligned} \right.$

Intersechiamo la retta con la superficie sferica . dal sistema si ottengono le due soluzioni

1. t = -1  ∧  x = -2  ∧  y = -2  ∧   z = 3
2. t = 1  ∧  x = 4  ∧  y = 6  ∧   z = 3

Il punto di tangenza $T_α$ ha così coordinate Tα(4, 6, 3)

c. Il piano β è parallelo al piano α quindi avrà la forma

$β: 3x+4y+d = 0$ 

Si tratta di valutare il parametro d.

La precedente soluzione 1. ci da il punto di tangenza $T_β$ del piano β:

$T_β (-2, -2, 3)$

così possiamo valutare il termine noto d

- 6 - 8 +d = 0  ⇒   d= 14

Il piano β ha equazione

β: 3s + 4y + 14 = 0