Geometria analitica

Stabilisci la posizione reciproca della retta r: 3x-1=y+4=z e della retta s: 2x-2=-3y-6=6z-12

Determiniamo, dapprima, si sono complanari o sghembe. Nel caso siano complanari calcoliamo le coordinate dell'eventuale punto di incidenza e per ultimo l'angolo tra le due rette.

1. Complanari o sghembe.

   a.

• Vettore direzione delle retta r:.

Si ottiene dal prodotto vettoriale dei vettori direttori dei due piani 

3x-z = 1  ⇒ v₁(3,0,-1)

y-z=-4 ⇒ v₂(0,1,-1)

$v_r = v_1 \times v_2 = v_r(1,3,3)$ 

Analogamente

• Vettore direzione delle retta s:.

Si ottiene dal prodotto vettoriale dei vettori direttori dei due piani 

2x-6z = -10  ⇒ v₁(2,0,-6) 

3y+6z=6 ⇒ v₂(0,3,6)

$v_s = v_1 \times v_2 = v_s(18,-12,6) = v_s(3,-2,1)$ 

L'ultimo passaggio è lecito visto che si tratta di un vettore direzione.

   b.

Scegliamo due generici punti $P_r, P_s$ appartenenti rispettivamente alle due rette.

Questo passaggio si va senza particolari calcoli assegnando due valori e determinando il terzo in modo da soddisfare entrambe le equazioni dei due piani.

$ P_r(1, -2,2) \; ∧ \; P_s(-2,0,1)$

   c.  Determiniamo se sono complanari o sghembe

Costruiamo la matrice M costituita dalla differenza dei due punti $P_r + P_s$ e dai due vettori direzioni $v_r, v_s$. Calcoliamone il determinanate

$detM = \begin{vmatrix} 3&-2&1\\1&3&3\\3&-2&1\end{vmatrix} = 0 $

La matrice ha due righe eguali detM = 0. DetM = 0 significa che le due rette sono complanari

2. Punto di intersezione (incidenza, parallele)

Risolviamo il sistema composto dai 4 piani

$ \left \{\begin{aligned} 3x-z &=1 \\ y-z &=-4\\ 2x-6z &= -10\\ y+6z &=6 \end{aligned} \right.$ 

Il sistema ammette la soluzione

$ x = 1 \quad ∧ \quad y = -2 \quad ∧\quad z = 2 $

Il punto di incidenza Q ha coordinate Q(1, -2, 2).

3. Angolo tra le due rette

applichiamo la formula

$ cosθ = \frac {<v_r, v_s>}{\rVert v_r \rVert \cdot \rVert v_s \rVert} $

Osserviamo che 

$<v_r, v_s> = (1,3,3) \cdot(3,-2,1) = 0 $

quindi, le due rette sono tra loro ortogonali

ESERCIZIO N 81