Studia il fascio di circonferenze di equazione:
$$
(k+1) x^2+(k+1) y^2-4 x-k-1=0
$$
determinando le generatrici, i punti base, l'asse radicale e le caratteristiche del fascio. Determina poi la circonferenza del fascio passante per il punto $P(1,1)$. [Punti base: $(0,1),(0,-1)$; asse radicale: $x=0 ; x^2+y^2-x-1=0$ ]
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Livello 1
Il fascio di circonferenze
* (k + 1)*x^2 + (k + 1)*y^2 - 4*x - (k + 1) = 0
per k = - 1 dà l'asse y, circonferenza degenere nella retta del fascio (asse radicale), mentre per k != - 1 diventa
* Γ(k) ≡ (x - 2/(k + 1))^2 + y^2 = (2/(k + 1))^2 + 1
fascio delle circonferenze non degeneri di centro C(2/(k + 1), 0) e raggio r = √((2/(k + 1))^2 + 1) > 1, quindi tutte reali e con l'asse x come asse centrale.
Gli eventuali punti base e l'asse radicale per essi, ortogonale all'asse centrale, si determinano dal sistema fra due elementi qualsiasi; ad esempio
* Γ(0) & Γ(1) ≡ ((x - 2)^2 + y^2 = 5) & ((x - 1)^2 + y^2 = 2) ≡
≡ B1(0, - 1) oppure B2(0, 1)
allineati, come previsto, sull'asse y.
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La condizione di passare per P(1, 1) impone
* (1 - 2/(k + 1))^2 + 1^2 = (2/(k + 1))^2 + 1 ≡ k = 3
da cui
* Γ(3) ≡ (x - 1/2)^2 + y^2 = 5/4
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Infine, la richiesta di determinare "LE generatrici" con l'articolo determinativo è demente e priva di significato.
La definizione di "fascio di cose" è "combinazione lineare non banale di due cose QUALSIASI": quindi ogni fascio ha infinite coppie di generatrici. Se la richiesta fosse stata di determinare "una coppia di generatrici" si sarebbe potuto rispondere, ma così no.
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Genius I
@exprof come mai allora il problema nelle soluzioni da che l'asse radicale è x=0?
@Bungo
Ti meravigli che una volta tanto il libro dia una soluzione corretta? Può succedere, anche se è raro.
