[Risolto] Geometria analitica

Si chiede di individuare quattro rette particolari nel seguente fascio.
* f(a, b) ≡ (a*(x + y + 1) + b*(x + 2*y) = 0) & (|a| + |b| > 0) ≡
≡ (a = - 2*b) & ((b = 0) oppure (x = - 2)) & (|a| + |b| > 0) ≡
≡ (a = - 2*b) & (x = - 2)
oppure
≡ (a != - 2*b) & (y = - ((a + b)/(a + 2*b))*x - a/(a + 2*b)) & (|a| + |b| > 0)
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f(a, b) è un fascio proprio
* di centro C(- 2, 1)
* di pendenza m(a, b) = - (a + b)/(a + 2*b)
e la sua retta generica interseca gli assi in
* X(- a/(a + b), 0), Y(0, - a/(a + 2*b))
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Le rette richieste
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a) quella per P(1, 1) ≡ y = 1, in quanto C e P sono allineati su di essa.
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b) quelle che, con gli assi, formano un triangolo di area S = 9/2.
L'area del triangolo rettangolo è il semiprodotto dei cateti
* S = (- a/(a + b))*(- a/(a + 2*b))/2 = 9/2 ≡
≡ (a + (27/16)*b)^2 = (153/256)*b^2 ≡
≡ a + (27/16)*b = ± (b/16)*3*√17 ≡
≡ a = - (b/16)*27 ± (b/16)*3*√17 ≡
≡ a = - (b/16)*(27 ± 3*√17)
da cui
* y = + ((3*√17 - 13)*x + 6*√17 - 18)/8
* y = - ((3*√17 + 13)*x + 6*√17 + 18)/8
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c) quella di pendenza m = - 1 ≡ x + y + 1 = 0, in quanto
* m(a, b) = - (a + b)/(a + 2*b) = - 1 ≡ (a != 0) & (b = 0)

x + y + 1 + k(x + 2y) = 0

a) 1 + 1 + 1 + k(1 + 2*1) = 0

3 + 3k = 0

k = -1

x + y + 1 - x - 2y = 0

1 - y = 0

y = 1

b) (1 + k) x + (1 + 2k) y + 1 = 0

x/(-1/(k+1)) + y/(-1/(2k+1)) = 1

1/[(k+1)(2k+1)] = +- 9/2

2k^2 + 3k + 1 = +-2/9

18k^2 + 27k + 9 +- 2 = 0

e ti lascio il resto dei calcoli.