Determina le rette tangenti alla parabola di equazione y=x2 + x +1 passanti per il punto P(-1,-3) e calcola la misura del segmento AB essendo A e B i punti di contatto delle tangenti con la parabola.
Determina le rette tangenti alla parabola di equazione y=x2 + x +1 passanti per il punto P(-1,-3) e calcola la misura del segmento AB essendo A e B i punti di contatto delle tangenti con la parabola.
230
punti
Livello 1
{y = x^2 + x + 1
{y + 3 = m·(x + 1) (retta per [-1, -3])
Per sostituzione: y = m·x + m - 3
m·x + m - 3 = x^2 + x + 1
x^2 + x + 1 - (m·x + m - 3) = 0
x^2 + x·(1 - m) - m + 4 = 0
Δ = 0 condizione di tangenza
(1 - m)^2 - 4·(4 - m) = 0
m^2 + 2·m - 15 = 0
(m - 3)·(m + 5) = 0
Risolvo: m = -5 ∨ m = 3
Rette tangenti:
y = (-5)·x + -5 - 3-----> y = - 5·x - 8
y = 3·x + 3 - 3------> y = 3·x
Punti di tangenza:
x^2 + x·(1 - (-5)) - -5 + 4 = 0
x^2 + 6·x + 9 = 0-----> (x + 3)^2 = 0--> x = -3
x^2 + x·(1 - 3) - 3 + 4 = 0
x^2 - 2·x + 1 = 0----> (x - 1)^2 = 0---> x = 1
x = -3 : y = (-3)^2 + -3 + 1 = 7
[-3, 7] punto A
x = 1 :y = 1^2 + 1 + 1 = 3
[1, 3] punto B
Misura segmento:
AB= √((-3 - 1)^2 + (7 - 3)^2) = 4·√2
(AB = 5.66 circa)
115486
punti
Genius III