[Risolto] Geometria

1) distanza minima tra le rette AD e BC

determiniamo l'equazioni delle due rette

• AD con A=(1,1,5);  D=(-2,1,2)

vettore direzione v = (xD-xA,yD-yA,zD-zA) =   (-3,0,-3)

Vista la componente negativa un piano della retta è y= 1

L'equazione cartesiana della retta è così

{y = 1

{(x-xA)/xV = (z-zA)/zV ⇒ (x-1)/-3 = (z-5)/-3 ⇒ x-z+4 = 0

• BC con B=(2,2,1); C=(1,-2,2) 

vettore direzione w = (xC-xB,yC-yB,zC-zB) =   (-1,-4,1)

L'equazione cartesiana della retta è così

{(x-xB)/xW = (y-yB)/yW ⇒ (x-2)/-1 = (y-2)/-4 ⇒ 4x-y-6 = 0

{(y-yB)/yW = (z-zB)/zW ⇒ (y-2)/-4 = (z-1)/1 ⇒ y+4z-6 = 0

Essendo v≠k*w le due rette non sono parallele. Verifichiamo se sono incidenti risolvendo il sistema

{y = 1

{x-z+4 = 0

{4x-y-6 = 0

{y+4z-6 = 0

Il sistema non ammette soluzioni quindi le rette sono tra loro sghembe.

Calcoliamo l'equazione del piano Π: passante per la retta AD e parallelo alla retta BC

Fascio di piani con sostegno retta AD

λ(y-1) + μ(x-z+4) = 0

μx+λy-μz+4μ-λ = 0

I coefficienti direttori del generico piano del fascio sono

n = (μ, λ, -μ)

Il piano Π: possiede la normale ortogonale alla retta BC, quindi il prodotto scalare tra i due vettori deve essere pari a zero.

(μ, λ, -μ)*(-1,-4,1) = 0

μ = -2λ

Scegliamo come variabile libera λ e poniamola eguale a 1, per cui

λ=1 & μ = -2

Il piano Π: del fascio avrà equazione

1*(y-1) - 2*(x-z+4) = 0 

2x-y-2z+9 = 0

Scegliamo un punto generico della retta BC esempio B(2,2,1) e calcoliamo la distanza d dal piano Π: 

d = |2*xB-yB-2*zB+9|/√(2²+(-1)²+(-2)²) = 

= |4-2-2+9|/3 = 3

2) l'equazione della sfera

Piano passante per B=(2,2,1); C=(1,-2,2); D=(-2,1,2).

Calcoliamo due vettori direzione contenuti nel piano

BC = (-1,-4,1)

BD = (-4,-1, 1)

determiniamo il vettore n normale al piano T: cercato tramite il prodotto vettoriale

BC*BD = (-1,-4,1)∧ (-4,-1, 1) = (-3,-3,-15) che razionalizzato diventa

n = (1,1,5)

L'equazione dei piani paralleli al piano cercato sarà

x+y+5z+d = 0

Il piano T: passante per B è tale che

2+2+5+d=0 ⇒ d = -9

Il piano tangente T: ha equazione

x+y+5z-9 = 0 

Verifica S(9,0,0) appartiene al piano tangente T:. OK.

Equazione del fascio di sfere tangenti al piano T: nel punto S(9,0,0). Scegliamo come generatrici la sfera degenere coincidente con T: e la sfera anch'essa degenere ci centro S e raggio nullo, cioè 

(x-9)²+y²+z²=0

Equazione del fascio (x-9)²+y²+z²+μ(x+y+5z-9) = 0 

Imponiamo il passaggio per Q(8,-1,-5)

(8-9)²+(-1)²+(-5)²+μ(8-1-5*5-9) = 0

μ = 1

L'equazione della sfera è così

(x-9)²+y²+z²+1*(x+y+5z-9) = 0 

x²+y²+z²-17x+y+5z+72 = 0

Controlla i conti non si sa mai.