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[Risolto] piano passante in tre punti

  

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ciao a tutti! vorrei sapere come si possono trovare un piano passante in tre punti ? grazieeeee

 

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Un piano generico ha equazione ax + by + cz + d = 0 dove x,y,z sono variabili (quindi rimangono scritte così) mentre a,b,c,d sono coefficienti da trovare!

Un punto appartenente al piano ha la caratteristica di risolvere al sua equazione: quindi se un punto è P(1,2,3) allora io so che se metto x=1, y=2, z=3 ottengo un'equazione valida, che sarà quindi scritta come a + 2b + 3c + d = 0

se fai questa cosa con tre punti diversi ottieni tre equazioni diverse, tutte valide: quindi le devi mettere a sistema per trovare i valori che ti servono.

come fare se ho 4 incognite e 3 equazioni? 

devi trovare tutte le incognite in funzione di "d", per esempio il tuo sistema dovrebbe arrivare ad avere:

a= 2d

b=d

c=2d/3 

in questo modo puoi sostituire tutto nel piano generale e ottieni:

2xd + yd + 2zd/3 +d =0 

ora ponendo d diverso da 0 puoi semplificarlo e trovi che il piano ha equazione:

2x + y + 2z/3 +1 = 0 

che per togliere la frazione puoi scrivere come:

6x + 3y + 2z =0

@andreap l'ultimo passaggio ti sei dimenticato del termine noto 1. A parte questo, anche se in generale come linea guida è giusto esprimere tutto rispetto a $d$, non appena il piano passa per l'origine uno è fregato, perchè $d=0$. Secondo me sarebbe molto meglio spiegare che 3 dei 4 parametri vanno espressi in funzione del quarto, a patto che questo non sia $0$, quindi chi risolve deve avere un minimo di flessibilità. Sei d'accordo? 😉 



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Per prima cosa la dicitura corretta è "un piano passante per tre punti". Se poi volessimo anche essere pignoli servirebbe un'aggiunta: "un piano passante per tre punti non allineati", in quanto se i tre punti fossero allineati, ovvero appartenessero ad un'unica retta, esisterebbero infiniti piani che passano per quei tre punti, in particolare tutti i piani del fascio proprio che ha per sostegno la retta di cui i punti fanno parte.

Poi la procedura è equivalente a quella che hai utilizzato in passato per trovare una retta passante per 2 punti. Prendi la generica equazione di un piano

$ax+by+cz+d=0$ e imponi il passaggio per le coordinate dei tre punti. Esempio facile facile: i tre punti siano:

$P_1(0,0,0)$, $P_2(1,0,0)$, $P_3(0,1,0)$

passaggio per $P_1$:

$a*0+b*0+c*0+d=0$ --> $d=0$

passaggio per $P_2$:

$a*1+b*0+c*0+d=0$ --> $a+d=0$ ma $d=0$ quindi anch $a=0$

passaggio per $P_3$:

$a*0+b*1+c*0+d=0$ --> $b+d=0$ ma $d=0$ quindi anche $b=0$

cosa è rimasto?

$cz=0$ ovvero $z=0$ che in effetti rappresenta il piano XY dove giacciono i miei tre punti. 



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Questo video su YouTube potrebbe esserti molto utile.

Ci sono vari esempi e la durata è abbastanza breve (circa 6 minuti).

Di seguito il link:

$\Rightarrow$ Equazione piano passante per 3 punti $\Leftarrow$



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grazie a tutti, volevo chiedere se faccio per caso una matrice con per riga un punto generico - i valori di A, poi A-B , e A-C.... ovviamente sempre i valori intendo le ordinate x,y,z in fila. è una tavolata ho può andare bene ?

 

Autore

@aa consiglio importante: devi assolutamente imparare ad esprimerti correttamente in maniera chiara. Se io fossi il tuo prof. e tu mi usassi il termine "tavolata" al posto di "tabella" o di "matrice" ti boccerei senza passare dal via. Quindi vedi bene che utilizzare i termini giusti è importante. Adesso la mia domanda: a quale scopo vuoi costruire una siffatta matrice? Potrebbe essere giusto farlo, ma dipende poi come la usi. 

si ha ragione. comunque pensavo di costruirla per ricavarci poi l'equazione del piano facendone il suo determinante ? per appunto non so se è un procedimento corretto

@aa hai 4 incognite e le equazioni sono 3. La matrice che dovresti creare è quindi rettangolare e il determinante di un matrice è definito solo per matrici quadrate. In realtà dovresti risolvere il sistema come per esempio ti ha suggerito @AndreaP, cosa che puoi fare anche con le matrici. Ma se non hai chiaro il problema e dove devi arrivare rischi di complicarti la vita.

okay va bene grazie! provo a rifare tutto con le vostre indicazioni. grazie!

 



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Per com'è (mal) formulata la domanda si capisce che i punti son dati e il quesito è di trovare, se è possibile, l'equazione di almeno un piano che li contenga.
Tanto per chiamare le cose per nome dico che sono dati
* P(h, p, u)
* Q(j, q, v)
* R(k, r, w)
e si cerca di determinare
* α ≡ a*x + b*y + c*z = 1
risolvendo il sistema dei tre vincoli che esprimono le appartenenze
* (a*h + b*p + c*u = 1) & (a*j + b*q + c*v = 1) & (a*k + b*r + c*w = 1) ≡
≡ (d = h*(q*w - r*v) - j*(p*w - r*u) - k*(q*u - p*v)) &
& (a = (p*(v - w) + q*(w - u) + r*(u - v))/d) &
& (b = (h*(w - v) + j*(u - w) + k*(v - u))/d) &
& (c = (h*(q - r) - j*(p - r) - k*(q - p))/d)
------------------------------
Una volta che hai le coordinate dei tre punti ti basta sostituirle per decidere in quale caso ti trovi e, se il problema risulta determinato, per scrivere l'equazione del loro piano.



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