disegna due angoli adiacenti aôb e bôc. sulla semiretta b considera un punto b; traccia per esso la perpendicolare alla retta ac e indica con h l'intersezione delle due rette. disegna poi la bisettrice dell'angolo obh e determina un punto a tale che il triangolo aob sia isoscele sulla base ab. dimostra che oa è perpendicolare alla retta ac
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Livello 0
Aiutati a capire la dimostrazione con questo disegno.
La bisettrice dell'angolo $\widehat{OBH}$ lo divide in due angoli congruenti $\alpha \cong \alpha '$, mentre per costruzione abbiamo un'altro angolo $\epsilon$ e un angolo retto $\eta = 90^{\circ}$, quindi $\alpha ' + \epsilon + 90^{\circ} = 180^{\circ} \implies \alpha ' + \epsilon = 90^{\circ}$. L'angolo $\epsilon ' \cong \epsilon$ è congruente ad $\epsilon$ perché è opposto al vertice. Essendo il triangolo $AOB$ isoscele per costruzione, gli angoli sulla base $\overline{AB}$ sono congruenti$^{[1]}$, quindi $\alpha ' \cong \alpha "$, detto $\eta '$ il restante angolo abbiamo che $\alpha " + \epsilon ' + \eta ' = 180^{\circ}$, sappiamo che $\alpha " \cong \alpha '$ e che $\epsilon \cong \epsilon '$, ma avevamo prima ricavato che $\alpha ' + \epsilon = 90^{\circ}$, quindi sostituiamo questo valore: $90^{\circ} + \eta ' = 180^{\circ} \implies \eta ' = 90^{\circ}$, quindi forma un angolo retto con la retta $ac$, vale a dire che è perpendicolare a tale retta.
Note:
L'$[1]$ è facile da dimostrare con il primo criterio di congruenza.
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Livello 3
