Una circonferenza di raggio R = 5 è inscritta in un quadrato. Una seconda circonferenza, con raggio r, è tangente internamente a due lati del quadrato e alla prima circonferenza. Calcola il raggio r della seconda circonferenza.
Una circonferenza di raggio R = 5 è inscritta in un quadrato. Una seconda circonferenza, con raggio r, è tangente internamente a due lati del quadrato e alla prima circonferenza. Calcola il raggio r della seconda circonferenza.
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Livello 0
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I due raggi sono lati di quadrati più piccoli, ovviamente facendo il disegno si capisce meglio, e i due raggi sono in proporzione con le rispettive diagonali, per cui, sarà un po' sempliciotto ma ho potuto fare solo così:
raggio da trovare $=x$, quindi:
$5 : x = 5\sqrt2 : (5\sqrt2 -5 -x)$
$x= \dfrac{5(5\sqrt2 -5-x)}{5\sqrt2}$
$x= \dfrac{5\sqrt2 -5 -x}{\sqrt2}$
$x\sqrt2 = 5\sqrt2 -5 -x$
$x\sqrt2 +x = 5\sqrt2 -5 $
$1,4142x+x = 2,071068$
$2,4142x = 2,071068$
$x= \dfrac{2,071068}{2,4142}$
$x\approx{0,857869}$ → $(x= 15-10\sqrt2)$
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Genius I
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Genius II
@stefanopescetto penso che sia sbagliata la tua soluzione.
Credo che il modo in cui ho affrontato questo problema sia corretto, tuttavia il risultato ottenuto non corrisponde né a quello suggerito nell’esercizio né a quello di @stefanopescetto , che è un esperto è uno super tosto . Pertanto, chiedo il vostro parere per aiutarmi a comprendere . Mi scuso e chiedo perdono a Stefano per aver messo in dubbio il tuo risultato, ma ciò è frutto della mia curiosità e insicurezza.
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Livello 5
@cindy280107 e p.c. @Light @StefanoPescetto
Rispondo all'appello, ma con la premessa che le equivalenze fra radicali non sono il mio forte e, per sovrappiù, che ho un'idiosincrasia contro i manoscritti (un paio d'anni addietro lo scrissi a Stefano e lui disse che fuori casa il foglio di taccuino era una buona scappatoia).
Interpretando il tuo rilevo r = 15 - 10*√2 ~= 0.85786
Da quello di Stefano rilevo r = 5*(√2 - 1)^2 ~= 0.85786, che è il risultato atteso.
Io invece trovo r = (1/√2 - 1/2)*5 ~= 1.0355, (√2 + 1)/2 volte più di voi tre.
Sarà stata la solita botta di vecchiaia dovuta all'atrofia cerebrale che, da maggio a oggi, chissà quanto sarà progredita.
Urca, l'ho vista!
Mi sono mangiato lo spizzo, che stupido.
@Light trascura il mio calcolo, lo riaggiusto al più presto.
@cindy280107 - In un primo momento mi tornava anche a me come @exProf poi ho visto che consideravo un pezzettino in più e allora, sottraendo quel pezzetto, mi è tornato esattamente come @stefanopescetto ma, non avendo formule per questo tipo di calcoli, ne ho solo per il calcolo dei trefoli o per cerchi all'interno di triangoli e semicerchi, ho provato con una proporzione/equazione come nel teorema di Talete; avendo avuto una visita da fare ce l'ho ancora sulla carta anche se con varie cancellature e scarabocchi, provo a mettere anche la mia risposta. Tutti possiamo sbagliare. Cordiali saluti a tutti.
Appena ho tempo controllerò quanto avete fatto. Ho risposto anch’io al problema graficamente. Se mi ricorderò procederò a mio modo anche analiticamente. Ciao.
Il raggio r della seconda circonferenza è metà della differenza fra la semidiagonale (R*√2) del quadrato e il raggio R della prima circonferenza
* r = (R*√2 - R)/2 = (1/√2 - 1/2)*R ~= R/5
Per R = 5 si ha
* r = (1/√2 - 1/2)*5 ~= 1.0355
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@Light ERRORE ERRORE HORRORE, lascia perdere e ringrazia @cindy280107 e @StefanoPescetto
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SECONDA RISPOSTA
Ma no, non vale la pena! Ce ne hai già due corrette e concordi col risultato atteso.
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Genius I
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Genius III
Prendendo spunto dall'altro ottimo disegno di @lucianop, grazie alla bisettrice dell'angolo di 45°, si poteva anche fare come segue:
raggio $r= 5·tan\left(\dfrac{45}{2}\right)·tan\left(\dfrac{45}{2}\right) = 5·tan(22,5)·tan(22,5) = 0,8578643763.$
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Genius I
Vedo che ti hanno già risposto; @gramor è stato molto perspicace.
I due quadrati AOKE e HLDG sono simili.
R : OE = r : HD
La diagonale del quadratino è HD = 5 radice(2) - 5 - r;
5 : r = 5 radice(2) : [5 radice(2) - 5 - r].
Poi @gramor ha risolto la proporzione!
r = 15 - 10 * radice(2);
r = 5 * [3 - 2 radice(2)] = 5 * [2 + 1 - 2 radice(2)]
r = 5 * [radice(2) - 1]^2.
ciao @light
Ciao @cindy280107
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Genius II
@mg - Grazie mille, è proprio con uno schizzo su carta millimetrata, purtroppo non fatto bene come il tuo, che ho capito come risolvere, un cordiale saluto a te.