[Risolto] Geometria

Un triangolo isoscele ha l'altezza AH di 12,8 m ed è inscritto in una circonferenza di diametro AK = 20 m. Calcola il perimetro e l'area del triangolo.

OC = 10

CH = √10^2-2,8^2 = √100-7,84 = 9,60 cm 

AC = √12,8^2+9,60^2 = 16,00 cm 

perimetro 2p = 2(9,60+16,00) = 51,20 cm 

area A = 12,8*9,6 = 122,88 cm^2

FAI IL DISEGNO PRIMA DI LEGGERE OLTRE poi, via via che leggi, marca i punti e i segmenti.
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Se un triangolo isoscele ABC di base b = |AB| e altezza h = |CH| è inscritto in una circonferenza Γ di centro O e raggio r allora la retta su cui giace l'altezza passa per il centro di Γ e la lunghezza h è la somma o la differenza fra il raggio e la distanza d = |HO| di b da O secondo che O sia compreso fra H e C oppure no.
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%28-%E2%88%9A8%2C-1%29%28%E2%88%9A8%2C-1%29%280%2C3%29circumcircle
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%28-%E2%88%9A8%2C1%29%28%E2%88%9A8%2C1%29%280%2C3%29circumcircle
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Vale la relazione pitagorica
* r^2 = d^2 + (b/2)^2 ≡
≡ d^2 = r^2 - (b/2)^2 ≡
≡ b^2 = 4*(r^2 - d^2)
da cui
* h = r ± √(4*r^2 - b^2)/2
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Il triangolo è lecito (si chiude senza degenerare) se e solo se per il lato obliquo
* L = √(h^2 + (b/2)^2)
si ha
* 0 < √(h^2 + (b/2)^2) < h + b/2 ≡
≡ (b > 0) & (h > 0)
cioè, nell'ipotesi di triangolo inscritto non degenere, per ogni misura di 0 < b <= 2*r.
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ESERCIZIO
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Dati
* 2*r = 20 m ≡ r = 10 m = 100 dm
* h = 12,8 m = 128 dm
si chiedono perimetro p e area S di ABC.
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La relazione
* h = 128 dm > r = 100 dm
indica che O è compreso fra H e C e perciò che
1) h = r + √(4*r^2 - b^2)/2 ≡
≡ 128 = 100 + √(4*100^2 - b^2)/2 ≡
≡ b = 192 dm
2) L = √(128^2 + (192/2)^2) = 160 dm
3) p = b + 2*L = 192 + 2*160 = 512 dm = 51.2 m
4) S = b*h/2 = 192*128/2 = 12288 dm^2 = 122.88 m^2