[Risolto] geom analitica - circonferenza

Per trovare le equazioni delle due circonferenze puoi procedere come svolto qui sotto.

Con riferimento alla retta dei centri delle circonferenze fai riferimento al nuovo disegno:

e considera la circonferenza di destra ed il triangolo EFH (tanto per fissare le idee)

Devi dire che:

La posizione del centro è data da:  [x, (x + 3)/2]

esso deve essere equidistante da: A [1, 2]

e da: F [x - 2, 0] (molto importante riconoscere che sull'asse delle x i punti sono spostati di 2 unità)

Quindi:

{(x - (x - 2))^2 + ((x + 3)/2 - 0)^2 = r^2

{(x - 1)^2 + ((x + 3)/2 - 2)^2 = r^2

cioè

{(x^2 + 6·x + 25)/4 = r^2

{5·(x - 1)^2/4 = r^2

quindi:

x^2 + 6·x = 5·x^2 - 10·x - 20

4·x^2 - 16·x - 20 = 0

x^2 - 4·x - 5 = 0

(x + 1)·(x - 5) = 0

x = 5 ∨ x = -1

Da cui i centri delle due circonferenze:

[5, (5 + 3)/2]-----> [5, 4]

[-1, (-1 + 3)/2]------> [-1, 1]

ed i punti in cui esse intersecano l'asse delle x

[5 - 2, 0]----> [3, 0]

[-1 - 2, 0]----> [-1 - 2, 0]

da cui risali facilmente alle due equazioni volute e messe in evidenza in figure.

Buona la prima che hai detto ("Quindi punto tangenza (1,2)")!
Sul seguito è più clemente stendere un velo pietoso.
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La retta tangente assegnata
* t ≡ 2*x + y - 4 = 0 ≡ y = 4 - 2*xle equazioni
ha pendenza m = - 2, quindi il fascio ortogonale ha pendenza m' = 1/2 e genera la retta per T(1, 2)
* p ≡ y = (x + 3)/2
sulla quale devono cadere tutti i centri C(k, (k + 3)/2) delle circonferenze tangenti la t in T il cui raggio r, per la tangenza, dev'essere la distanza
* |Ct| = r = (√5/2)*|k - 1|
e che perciò costituiscono il fascio
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (k + 3)/2)^2 = ((√5/2)*|k - 1|)^2 ≡
≡ Γ(k) ≡ x^2 + y^2 - 2*k*x - (k + 3)*y + 4*k + 1 = 0
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Per determinare sull'asse x una corda di misura quattro servono due intersezioni (P, Q) distanti |PQ| = 4
* (y = 0) & (x^2 + y^2 - 2*k*x - (k + 3)*y + 4*k + 1 = 0) ≡
≡ P(k - √(k^2 - 4*k - 1), 0) oppure Q(k + √(k^2 - 4*k - 1), 0)
da cui
* |PQ| = 2*√(k^2 - 4*k - 1) = 4 ≡
≡ (k = - 1) oppure (k = 5)
e infine le equazioni richieste
≡ Γ(- 1) ≡ (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 5
≡ Γ(5) ≡ (x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 20