Funzioni trascendenti

Problema:

Individuare il valore del seguente limite:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ^2 (3x)}{1-\cos x}$

Soluzione:

Si può risolvere senza teoremi particolari, ma solamente con i limiti notevoli.

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ^2 (3x)}{1-\cos x}=\lim_{x \to 0} \frac{(3x)²\sin (3x) \sin (3x)}{(1-\cos x)(3x)^2}=\lim_{x \to 0} \frac{(3x)²}{1-\cos x}=9 \times (\frac{1}{2})^{-1}=18$.

Si noti che si possono generalizzare i limiti notevoli a tendenze asintotiche come segue, in modo da rendere più veloci i conti.

Se $ε(x) \to 0$, allora $\sin ε(x) \approx ε(x)$ e $1-\cos ε(x) \approx \frac{ε²(x)}{2}$.

Il limite risolto con ciò è 

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ^2 (3x)}{1-\cos x}=\lim_{x \to 0} \frac{(3x)²}{\frac{x²}{2}}=9 \times 2=18$.

LIM(SIN(3·x)^2/(1 - COS(x))) = (0/0)

x---> 0

FORMA INDETERMINATA

N(x)=SIN(3·x)^2

D(x)=1 - COS(x)

-----------------

N'(x)=3·SIN(6·x)

D'(x)= SIN(x)

per x---> 0 ancora forma indeterminata

----------------

N''(x)= 18·COS(6·x)

D''(x)=COS(x)

per x---> 0  ---> forma determinata:

LIM(SIN(3·x)^2/(1 - COS(x))) = 18

x---> 0

Immagino che potremmo provare senza De L'Hospital.

1 - cos x = 2 sin^2 (x/2)

per la formula di bisezione.

Poi essendo sin(u)/u ~ 1 intorno a 0

sin^2(u) ~ u^2 intorno a zero

lim_x->0 (3x)^2/(2 * (x/2)^2) =

= 9/(2/4) = 18

WIMS conferma.