Buonasera ho provato a risolvere senza Del’Hopital questo limite, ma da quello che risulta è errato.
Buonasera ho provato a risolvere senza Del’Hopital questo limite, ma da quello che risulta è errato.
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@RebC scusa se ti disturbo, sapresti dirmi dove sta il mio errore?
Credo che sia nel fatto che quel fattore con esponente -1 in realtà tende all'infinito perché la base tende a zero.
@eidosm Va bene, grazie.
@fede-uwu ha ragione eidos, dato che hai $(f(x))^{-1}$ con $f(x) \to 0$ e $\lim_{x \to 0} x^{-1} \neq 0$.
Consiglio per altre situazioni: quando porti il limite dentro alle elevazioni a potenza presta attenzione, specie quando l'esponente è minore di $0$ dato che potresti avere un limite inesistente se limite destro e sinistro non coincidono.
Esempio: $\lim_{x \to 2} (x-2)^{-1}$. La funzione è discontinua in $x=2$ e si ha che $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +∞$ e $\lim_{x \to 2^-} f(x)=-∞$. Poiché i limiti non coincidono $\lim_{x \to 2} (x-2)^{-1}= \nexists$.
Se stai studiando i limiti da solo ti consiglio di vedere anche questi argomenti: continuità, continuità uniforme, convergenza puntuale, convergenza uniforme e la classificazione delle funzioni in lipschitziane e hölderiane.
Non sono argomenti difficili, ma ti permettono di ragionare in maniera più astratta. La continuità uniforme ad esempio è una continuità più forte della continuità semplice, questa limita, spesso localmente, la crescita della funzione rendendola più "piatta". La convergenza puntuale invece ti permette di vedere a quale funzione tende una successione di funzioni (sembra strano, ma puoi trattare singole funzioni come punti dello spazio vettoriale $C^0(I)$, hai mai pensato di vedere una funzione come un vettore con numero di componenti pari alla cardinalità dei reali? 😉 ). La convergenza uniforme invece avviene solamente quando le funzioni della successione di funzioni sono "intubate".
Queste definizioni permettono di giustificare il passaggio al limite di integrali e derivate.
Comprese queste nozioni potresti approfondire gli spazi metrici e gli spazi di Banach in modo da poter affrontare il teorema di unicità dei punti fissi in una contrazione (Banach-Caccioppoli), da non confondere con l'affascinantissimo, quanto complesso, teorema di Brouwer. Sono argomenti comprensibili con il programma del quinto anno svolto per intero e dei buoni approfondimenti per farsi un'idea di cosa si studia all'università. Ti posso lasciare qualche esonero su questi argomento e una buona dispensa se ti interessano 🙂