Funzioni problema n. 536

Problema:

La retta $Span\{ \vec{OP} \}$ che congiunge l'origine $O(0,0)$ con un punto $P$ che appartiene alla retta $2x-y-2=0$ incontra in $M$ la retta che congiunge i punti $A(0,8)$ e $B(6,2)$.  Determinare le coordinate del punto $P$ sapendo che $\overline{OM}=\overline{MP}$.

Soluzione:

Un generico punto $P$ sulla retta $2x-y-2=0$ ha coordinate $P(k,2k-2)$, con $k$ reale.

La retta passante per $A$ e $B$ ha equazione $y-8=\frac{2-8}{6}(x)$, ossia $y=-x+8$, mentre la retta passante per $O$ e $P$ è $y=\frac{2k-2}{k}(x)$. 

Da $\overline{OM}=\overline{MP}$ si evince che $M$ è punto medio di $O$ e $P$, quindi

$\frac{k+0}{2}=x_m$

$\frac{2k-2+0}{2}=y_m$

Ciò implica che $M(\frac{k}{2}, k-1)$.

Poiché $M$ appartiene alla retta $y=-x+8$, si ha $k-1=-\frac{k}{2}+8 \implies 2k=-k+18 \implies k=6$, quindi $M(3,5)$.

Inoltre poichè

$\frac{k+0}{2}=3$

$\frac{2k-2+0}{2}=5$

Si riottiene $k=6$, quindi $P(6,10)$.

https://www.desmos.com/calculator/m1qiz3xflb

A [0, 8]

B [6, 2]

Retta AB:

(y - 2)/(x - 6) = (8 - 2)/(0 - 6)

(y - 2)/(x - 6) = -1----> y = 8 - x

poi

2·x - y - 2 = 0---> y = 2·x - 2

Quindi i punti P ed M sono tali per cui:

Ρ [α, 2·α - 2]

Μ [β, 8 - β]

Sono tali per cui:

{Appartengono alla stessa retta y = m·x

{l'ordinata di P è doppia della ordinata di M

quindi:

{2·α - 2 = m·α

{8 - β = m·β

risolvo ed ottengo:

m = 2·(α - 1)/α

m = (8 - β)/β

Quindi sistema:

{2·(α - 1)/α = (8 - β)/β

{2·α - 2 = 2·(8 - β)

Risolvo ed ottengo: [α = 1 ∧ β = 8, α = 6 ∧ β = 3]

scarto la prima perché porta ad m=0

α = 6 ∧ β = 3

P [6, 2·6 - 2]----> P [6, 10]

M [3, 8 - 3]------> M [3, 5]