Funzioni -problema 533

Problema:

Determinare sull'asse delle ordinate un punto $P$, in modo che una retta passante per $P$ e di coefficiente angolare $\frac{1}{3}$, formi con le rette di equazione $x-y+1=0$ e $y+x-4=0$ un triangolo di area di misura $18$. 

Soluzione:

Un generico punto $P$ come da condizione data ha coordinate $(0,a)$, una retta passante per $P$ ha quindi equazione $y=\frac{1}{3}x+a$. 

Bisogna quindi trovare i vertici del triangolo mediante $3$ intersezioni.

$A: \{ y=x+1, y=4-x\}$

$B: \{y=x+1, y=\frac{x}{3}+a\}$

$C: \{y=4-x, y=\frac{x}{3}+a\}$.

Si ottengono i punti $A(\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$, $B(\frac{3a-3}{2}, \frac{3a-1}{2})$ e $C(\frac{12-3a}{4}, \frac{3a+4}{4})$, con $a \in \mathbb{R}$.

Per evitare troppi conti, se hai a disposizione un calcolatore, conviene utilizzare il metodo del determinante per calcolare l'area ($2S=|\det M|$).

(Nel link trovi anche il metodo tradizionale, ma è scomodo da utilizzare).

Si ottiene quindi:

$36=|\det \begin{pmatrix}
\frac{3}{2}& \frac{5}{2}&1 \\
\frac{3a-3}{2}& \frac{3a-1}{2} & 1 \\
\frac{12-3a}{4} & \frac{3a+4}{4}& 1
\end{pmatrix}|$

Ossia $a=-2$ e $a=6$.

I punti $P$ che soddisfano le condizioni sono $P_1(0,-2)$ e $P_2(0,6)$.

Ciao, 

ecco un possibile svolgimento dell'eserczio:

saluti 🙂 

Potresti sfruttare il fatto che otterresti due triangoli rettangoli in A intersezioni delle rette date (perpendicolari fra loro) e che avresti due rette da determinare fra loro parallele. Se ho tempo vedrò di svolgere il problema con queste informazioni. Procedo per ora nel modo classico.

{x - y + 1 = 0

{y + x - 4 = 0

Risolvo ed ottengo: [x = 3/2 ∧ y = 5/2]

{y = 1/3·x + q

{x - y + 1 = 0

Risolvo ed ottengo: [x = 3·(q - 1)/2 ∧ y = (3·q - 1)/2]

{y = 1/3·x + q

{y + x - 4 = 0

Risolvo ed ottengo: [x = 3·(4 - q)/4 ∧ y = (3·q + 4)/4]

Quindi sistemo i tre punti ottenuti:

[3/2, 5/2]

[3·(q - 1)/2, (3·q - 1)/2]

[3·(4 - q)/4, (3·q + 4)/4]

[3/2, 5/2]

Impongo che sia: A = 18

Α = 1/2·ABS((3/2·((3·q - 1)/2) + 3·(q - 1)/2·((3·q + 4)/4) + 3·(4 - q)/4·(5/2))+

- (3/2·((3·q + 4)/4) + 3·(4 - q)/4·((3·q - 1)/2) + 3·(q - 1)/2·(5/2)))

Α = 1/2·ABS(3·(3·q^2 + 2·q + 14)/8 - (- 3·(3·q^2 - 26·q + 10)/8))

Α = 1/2·ABS(9·(q^2 - 4·q + 4)/4)

1/2·ABS(9·(q^2 - 4·q + 4)/4) = 18

ABS(9·(q^2 - 4·q + 4)/4) = 36----> 9·(q^2 - 4·q + 4)/4 = +36

Risolvo ed ottengo:

q = 6 ∨ q = -2

che sono le ordinate dei punti richiesti

Lo svolgimento e' a mano