Funzioni inverse con le derivate.

$ y(x) = arcsin(\frac{1-x}{1+x})  $

• Dominio.

Devono essere verificale le due disequazioni

$ -1 \le \frac{1-x}{1+x} \le 1 $

i) $ -1 \le \frac{1-x}{1+x}$ è verificata per x > -1

ii) $ \frac{1-x}{1+x} \le 1 $ è verificata per x < -1  V  x ≥ 0

Dominio = [0, +∞)

•  y(x) è invertibile   

i) Derivata prima. $ y'(x) = -\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{(1+x)^2}}} $

ii) La derivata prima è negativa per tutti i punti del dominio, quindi la funzione y(c) è monotona strettamente decrescente.

iii) Se è monotona stretta risulta essere iniettiva; iniettiva ovvero invertibile sul Dominio e l'Immagine.

• l'inversa y⁻¹(x)

Percorriamo i classici tre passi:

1. Esprimiamo la formula in forma esplicita. $ y = arcsin(\frac{1-x}{1+x})  $
2. Scambiamo tra loro le variabili. $ x = arcsin(\frac{1-y}{1+y})  $
3. Esplicitiamo la y.

$ x = arcsin(\frac{1-y}{1+y})  $
$ sin x = sin(arcsin(\frac{1-y}{1+y}) ) $
$ sin x = \frac{1-y}{1+y} $
$ sin x + y\, sinx = 1-y $
$ y(sinx+1) = 1-sinx$

$ y⁻¹(x) =  \frac{1-sinx}{1+sinx}$