Funzioni inverse

y = 2·x^3 - 1 (in blu in figura)

Opero le sostituzioni:

x → y

y → x

ottengo:

x = 2·y^3 - 1

risolvo rispetto ad y ed ottengo la funzione inversa f^(-1):

y = 2^(2/3)·(x + 1)^(1/3)/2 (in rosso in figura)

Le due funzioni sono simmetriche rispetto alla bisettrice del 1° e del 3° quadrante.

Sono crescenti perché presi comunque due valori della x : α e β con β > α si ha f(β)> f(α)

La funzione é crescente perché se x1 < x2 

allora x1^3 < x2^3 

2 x1^3 < 2 x2^3

2 x1^3 - 1 < 2 x2^3 - 1 

f(x1) < f(x2) 

in accordo con la definizione di funzione crescente 

Funzione inversa 

2x^3 - 1 = y 

x^3 = (1 + y)/2

x = rad_3 [ (1 + y)/2 ] 

y = rad_3 [ (1 + x)/2 ] 

é crescente perché composta di funzioni crescenti o per un teorema che dimostro tra poco. 

Teorema 

Se f(x) é strettamente crescente allora u(x) che é la sua inversa é a sua volta strettamente

crescente. 

Dimostrazione 

Sia x1 < x2 e per assurdo   u(x1) >= u(x2).

Poiché per ipotesi f(x) é strettamente crescente allora la disuguaglianza si conserva

f [u(x1)] >= f[u(x2)]   

e poiché f e u sono l'una l'inversa dell'altra 

x1 >= x2 

contro l'ipotesi x1 < x2

Consideriamo due generici punti  $ x_1, x_2$ del dominio della funzione con $x_1 \ge x^2$.

Dimostriamo che la funzione data sia crescente cioè $f(x_1) \ge f(x^2)$. Per assurdo supponiamo

$ f(x_1) \lt f(x^2)$
$ 2x^3_1 - 1 \lt 2x^3_2 - 1$
$ x^3_1  \lt x^3_2$

Ci siamo così ridotti a dimostrare che la potenza cubica è crescente. Questo è il punto.

$ x^3_1  -  x^3_2 \lt 0$
$ (x_1  -  x_2)(x^2_1+x_1x_2+ x^2_2) \lt 0$

Osserviamo che:

1. il primo fattore è positivo o al più nullo per ipotesi
2. il secondo fattore è positivo o al più nullo, infatti può essere scritto come $\frac{1}{2} (x^2_1+x^2_2 + (x_1+x_2)^2)$ e questa è la somma di 3 quadrati.
3. ne consegue che il loro prodotto non sarà mai negativo.

Questo è l'assurdo cercato.

Per dimostrare che la funzione inversa è monotona crescente si può

• ripetere la dimostrazione per assurdo
• ricordare che è una proprietà delle funzioni inverse quella di mantenere la monotonia specifica della funzione base.