[Risolto] Funzioni goniometriche

Nel post precedente ho descritto come si risolvono le prime due, che sono del tipo $f(x) = \pm g(x)$

La terza e quarta non rientrano nei casi precedenti perché presentano dei coefficienti e inoltre c'è un termine noto.

Queste equazioni si chiamano lineari. Esistono tre metodi per risolvere queste equazioni:

- Attraverso le sostituzioni parametriche

- Mettendo a sistema con la circonferenza goniometrica

- Usando la formula dell'angolo aggiunto

Nota che per usare questi metodi, l'argomento di seno e coseno dev'essere uguale. 

Se non lo è, prima di procedere usa le formule di addizione/sottrazione.

I tre metodi sono in generale equivalenti. Io, fra i tre, preferisco il terzo che è quello che ti mostro qui. In questo link trovi anche gli altri casi: https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/equazioni/569-equazioni-goniometriche-lineari-in-seno-coseno.html

Il metodo dell'angolo aggiunto ti consente di trasformare un'equazione lineare in una elementare (si, ancora loro!) in questo modo:

$ asin(x) + bcos(x) + c = 0$ diventa

$ r sin(x+\alpha) + c = 0$

Per farlo dobbiamo calcolare $r$, detto modulo, e $\alpha$, che è l'angolo aggiunto come:

$ r = \sqrt{a^2 + b^2}$

$ \alpha = arctan(\frac{b}{a})$ se $a>0$ o $\alpha = arctan(\frac{b}{a}) + \pi$ se $a<0$ 

PS attenzione a riordinare l'equazione mettendo prima seno e poi coseno, altrimenti sbagli a calcolare l'angolo.

Vediamo la terza equazione:

$\sqrt{3} cos(\pi/3 -2x) + sin(\pi/3-2x) = 1$

Riordino:

$ sin(\pi/3-2x) + \sqrt{3} cos(\pi/3 -2x) = 1$

Calcolo modulo e angolo:

$ r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$ \alpha = arctan(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \pi/3$ (con a=1>0)

Quindi riscrivo come:

$ 2 sin(\pi/3 -2x + \pi/3) = 1$

Da cui ottengo l'elementare:

$ sin(2\pi/3 -2x) = \frac{1}{2}$

La prima soluzione è :

$ 2\pi/3 -2x = \pi/6 +2k\pi$ -> $-2x = \pi/6 -2\pi/3 +2k\pi = -\pi/2 +2k\pi$ -> $ x = \pi/4 -k\pi$

La seconda è:

$ 2\pi/3 -2x = \pi -\pi/6 +2k\pi$ -> $-2x = \pi -\pi/6 -2\pi/3 +2k\pi = \pi/6 +2k\pi$ -> $ x = -\pi/12 -k\pi$

Noemi