[Risolto] Funzioni goniometriche

Ciao @sara75, ti invito a spezzare la tua domanda in più post perché ci sono diversi metodi per risolvere le equazioni che hai postato e per avere una panoramica precisa del metodo risolutivo, bisognerebbe risolverle praticamente tutte, cosa che non si può fare da regolamento.

Comincio con il risolvere la seconda, che è il primo "gradino" di difficoltà fra le equazioni elencate, ma al tempo stesso una delle equazioni elementari a cui tutte le altre si riconducono, per cui imparare a fare questo tipo di equazioni è indispensabile prima di proseguire.

$sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Si tratta di un'equazione trigonometrica elementare, perché è della forma:

$ f(x) = a$

con $f(x)$ che può essere una qualunque funzione trigonometrica (seno, coseno, tangente ecc...) e $a$ un valore numerico.

Equazioni di questo tipo presentano sempre due soluzioni (periodicità a parte).

La prima soluzione la trovi con la funzione trigonometrica inversa: arcsin, arccos, arctan ... in base alla funzione che hai in traccia.

In questo caso, che abbiamo il seno, usiamo l'arcsin:

$ x_1 = arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{\pi}{3} + 2k\pi$

Il valore dell'arcsin lo trovi con la calcolatrice, se puoi usarla, o ricordando i valori degli angoli di base (che è la cosa migliore).

Ti faccio notare che alla soluzione ($\pi/3$), devi aggiungere la periodicità che è $2k\pi$ per seno e coseno, $k\pi$ per la tangente.

La seconda soluzione si trova in modo diverso a seconda della funzione che hai. In generale, trovata $x_1$, la seconda soluzione $x_2$ si trova come:

- Equazioni in seno: $x_2 = \pi - x_1$

- Equazioni in coseno: $x_2 = - x_1$

- Equazioni in tangente: $x_2 = \pi + x_1$ (ma non è necessario scriverla perché è già inclusa nella prima soluzione, quando indichi la periodicità $+k\pi$).

Tornando al caso che stiamo trattando, avendo un'equazione in seno, la seconda soluzione è:

$ x_2 = \pi - x_1 = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2k\pi = \frac{4}{3}\pi + 2k\pi$

Questo metodo risolutivo vale anche se l'argomento non è solo $x$, ma qualcosa di più complesso.

Per completezza ti faccio vedere la terza:

$ cos(x-\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

Troviamo la prima soluzione come:

$  x_1-\frac{\pi}{3} = arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2}{3} \pi +2 k\pi$ -> $ x_1 = \frac{2}{3}\pi + \frac{\pi}{3}+2k\pi = \pi + 2k\pi$

E la seconda come:

$  x_2-\frac{\pi}{3} = -\frac{2}{3} \pi +2 k\pi$ -> $ x_2 = -\frac{2}{3}\pi + \frac{\pi}{3}+2k\pi = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$

Puoi risolvere allo stesso modo la 4, 5 e 6 che hai postato.

Aspetto un nuovo post per le altre equazioni!

Noemi