[Risolto] Funzioni Goniometriche

RIPASSI
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1) Il punto P(u, v) appartiene al grafico della funzione y = f(x) se e solo se f(u) = v.
2a) Le funzioni seno e coseno, viste sulla circonferenza goniometrica, assumono i medesimi valori dopo un giro completo; un angolo giro sono 360° ovvero 2*π radianti. Il periodo di seno e coseno è T = 2*π.
2b) Con lo stesso ragionamento, il periodo della tangente è T = π.
3) Se y = f(x + T) = f(x), con T minimo valore per cui vale l'eguaglianza, cioè se f(x) è periodica di periodo T allora per ogni valore k > 0 si ha
* y = f(k*x + T/k) = f(k*x)
perché, ancora con il modello della circonferenza goniometrica di anomalia x, se 2*x fa un giro x ne fa mezzo e se x/2 fa un giro x ne fa due.
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ESERCIZIO 598
* f(x, a, b) = y = a*cos(x) + b
è una cosinusoide traslata di b in alto se b > 0 o in basso se b < 0.
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a) Per il Ripasso#1 il passaggio per P(0, - 2) e Q(π/3, - 1/2) determina i parametri come soluzioni del sistema delle due condizioni d'appartenenza
* (- 2 = a*cos(0) + b) & (- 1/2 = a*cos(π/3) + b) ≡
≡ (a = - 3) & (b = 1)
da cui
* f(x) = y = 1 - 3*cos(x)
di periodo T(f) = 2*π.
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b) http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D1-3*cos%28x%29%5Dx%3D-%CF%80+to+%CF%80
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c) g(x, k) = y = tg(k*x)
di periodo T(g) = π/k per il Ripasso#3.
Ottenere T(g) = 2*T(f) vuol dire
* π/k = 2*2*π ≡ k = 1/4
da cui
* g(x) = y = tg(x/4)
di periodo T(g) = 4*π.
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d) http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3Dtg%28x%2F4%29%5Dx%3D-2*%CF%80+to+2*%CF%80
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e) y = f(x/2) + g(4*x/3) =
= 1 - 3*cos(x/2) + tg((4*x/3)/4) =
= 1 - 3*cos(x/2) + tg(x/3)
* cos(x/2) ha periodo doppio di cos(x), cioè 4*π.
* tg(x/3) ha periodo triplo di tg(x), cioè 3*π.
quindi
* y ha periodo mcm(4*π, 3*π), cioè 12*π.