Funzioni Esponenziali.

Question

Considera la funzione f(x)=a . 2^x+b . 2^{-x}+c.a. Stabilisci quali condizioni devono soddisfare a, b e c perché f sia una funzione dispari.b. Determina a, b e c in modo che f sia dispari e f(2)=15$.c. Determina il dominio, gli zeri e il segno della funzione y=f(x)$ ottenuta in corrispondenza dei valori di a, b e c trovati al punto precedente.d. Stabilisci se il grafico di tale funzione ha qualche punto in comune con la retta di equazione y=6 e in caso affermativo determina le coordinate di tali punti. [attach]92945[/attach]

cmc · Accepted Answer

$ f(x) = a. 2^x + b. 2^{-x} + c $ a. f(x) displari ⇔ f(-x) = - f(x) $ f(-x) = a. 2^{-x} + b. 2^{x} + c = - f(x) = - a. 2^x - b. 2^{-x} - c $ dall'uguaglianza segue che: c = - c ⇒ c = 0 a = -b ⇒ a+b = 0 b. Essendo f(x) per ipotesi dispari allora la sua forma sarà del tipo $ f(x) = a. 2^x - a .2^{-x} $ Imponiamo l'uguaglianza $ f(2) = 4a - frac {a}{4} = 15 $ $ f(2) = 16a - a = 15 . 4 ; ⇒; a = 4 $ per cui b = - 4 inoltre $ f(x) = 4 ( 2^x - 2^{-x}) $ c. Dominio = ℝ. Zeri f(x) = 0 $ 4 ( 2^x - frac {1}{2^x}) = 0 ; ⇒ ; x = -x ; ⇒ ; x = 0 $ Segno f(x) < 0 per x < 0 f(x) = 0 per x = 0 f(x) > 0 per x > 0 d. Punti in comuni con la retta y = 6 $ f(x) = 6$ $ 4 ( 2^x - 2^{-x}) = 6 $ $ 2. 2^x - frac {2}{2^x} -3 = 0 $ $ 2. 2^{2x} - 3 2^x - 2 = 0 $ Poniamo t = 2ˣ Le cui due soluzioni sono: $ t = - frac {1}{2} ; ⇒ ; 2^x = - frac {1}{2} Impossibile, da scartare. $ t = 2 ; ⇒ ; 2^x = 2 ; ⇒ ; x = 1 $ mentre y = 6. P(1, 6)

[Risolto] Funzioni Esponenziali.

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