[Risolto] Funzioni e le loro proprietà (3)

A dieci ore e mezza dalla mia fiera dichiarazione
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/28201/
"finché quella clausola c'è io evito di rispondere" e non ostante la presenza di ben tre di quelle clausole, mi rimangio la dichiarazione.
La lettura dei quotidiani mi deprime (pericolo di metastasi!).
La lettura dei libri dopo ~ 100 pagine stanca gli occhi.
I telefilm mattutini sono solo repliche.
Sosmatematica non offre domande nuove.
IO LA DEVO FARE QUALCOSA CHE MI BLOCCHI I MAL PENSIERI (pericolo di metastasi!).
Così mi organizzo una mezz'oretta di scrittura sul tema
*** ===>>>> «Funzioni e le loro proprietà»
con notizie che forse @Mr-tempesta03 troverà utili, o forse no: ma spero di sì.
==============================
A parte ciò che scrivono i libri scolastici, spesso maltradotti, i libri di Analisi per l'Università usano una precisa nomenclatura che si è sedimentata e stabilizzata negli ultimi due/tre secoli.
---------------
Il DOMINIO di una funzione y = f(x) è l'insieme su cui può variare x.
Il CODOMINIO di y = f(x) è l'insieme in cui y assume valore.
---------------
Se di x non si dà un tipo esplicito, come negli usuali esercizi, la s'intende reale.
In tal caso si dice INSIEME DI DEFINIZIONE di f(x) l'intersezione fra
* ciò che resta dell'asse reale dopo averne escluso le ascisse in cui f(x) non è definita
* con le eventuali condizioni restrittive su x.
---------------
Infine, si dice INSIEME DI DEFINIZIONE REALE di f(x) ciò che resta dell'insieme di definizione dopo averne escluso le ascisse in cui f(x) non assume valore reale.
==============================
Le tre funzioni, che @Mr-tempesta03 ha correttamente pubblicato una per volta, sono tutt'e tre funzioni razionali fratte di variabile reale
* y = f(x) = N(x)/D(x)
cioè sono il rapporto fra un polinomio numeratore N(x) e un polinomio denominatore D(x). E, poiché ogni polinomio di variabile reale a coefficienti reali ha valore reale, per tali funzioni
* dominio e codominio sono l'intero asse reale sia per x che per y;
* l'insieme di definizione reale coincide con l'insieme di definizione;
* ma non, in linea di massima, con il dominio: se D(x) ha zeri reali quelle ascisse si devono escludere dall'asse x in quanto il "rapporto con zero" è matematicamente insensato.
==============================
RISPOSTE
------------------------------
A) https://www.sosmatematica.it/forum/postid/28174/
* y = f(x) = N(x)/D(x) = (2 - x)/x
è indefinita per x = 0
quindi l'insieme di definizione è R\{0}
------------------------------
B) https://www.sosmatematica.it/forum/postid/28175/
* y = f(x) = N(x)/D(x) = (2*x - 1)/(x^3 + 4*x^2 - 2*x - 8) =
= (2*x - 1)/((x + 4)*(x^2 - 2)) =
= (2*x - 1)/((x + 4)*(x + √2)*(x - √2))
è indefinita per x in {- 4, - √2, + √2}
quindi l'insieme di definizione è R\{- 4, - √2, + √2}
------------------------------
C) https://www.sosmatematica.it/forum/postid/28176/
* y = f(x) = N(x)/D(x) = (x - 3)/(x^4 - 3*x^2 + 2) =
= (x - 3)/((x^2 - 1)*(x^2 - 2)) =
= (x - 3)/((x + 1)*(x - 1)*(x + √2)*(x - √2))
è indefinita per {- √2, - 1, + 1, + √2}
quindi l'insieme di definizione è R\{- √2, - 1, + 1, + √2}
==============================
NOTA
Pubblico questa risposta, iniziata alle 10h 30', alle 12h 10': al centro di Roma, nel 2021, sono stato un'oretta senza connessione. Boh!

Funzione razionale fratta: devi determinare tutti i valori reali di x che annullano il denominatore!

x^4 - 3·x^2 + 2 ≠ 0-------> scomponi in fattori ed applica la legge dell'annullamento di un prodotto.

x^2=t-------> t^2 - 3·t + 2 ≠ 0------->   (t - 1)·(t - 2) ≠ 0----->(t - 1)·(t - 2) ≠ 0

(x^2 - 1)·(x^2 - 2) ≠ 0  ----> x ≠ - √2 ∧ x ≠ √2 ∧ x ≠ -1 ∧ x ≠ 1

C.E. ]-inf; - √2[U] - √2; -1[U]-1;1[U]1;√2[U]√2;+inf[