Funzioni crescenti e decrescenti

Problema:

Determina gli intervalli in cui la funzione è crescente e quelli in cui è decrescente.

$y=\frac{1}{x} + \ln x +4$

Soluzione:

Lo studio dell'andamento della funzione si svolge analizzando il segno della derivata.

$y'=\frac{x-1}{x^2}$

Si ricordi però che la funzione esiste solo per $x>0$ a causa del logaritmo.

La derivata è positiva quando $\frac{x-1}{x^2}>0$, dato che il quadrato in $x>0$ è sempre positivo, si ottiene $x>1$.

La funzione è dunque crescente nell'insieme $x>1$ e decrescente nel complementare $0<x≤1$.

y = 1/x + LN(x) + 4

C.E. : x > 0

y' = 1/x - 1/x^2---> y' =(x - 1)/x^2 > 0

f(x) crescente per x > 1

f(x) decrescente per 0 < x < 1

Derivata prima > 0;

y = 1/x + ln(x) + 4;

x > 0; il logaritmo esiste per valori x > 0; (campo di esistenza del logaritmo);

y'(x) > 0 funzione crescente;

y'(x) = - 1/x^2 + 1/x = (-1 + x) / x^2;

y'(x) = (x - 1) / x^2;

x^2 > 0;

x - 1 > 0; x > + 1;

 y'(x) > 0; allora funzione crescente;

0 < x < + 1; funzione decrescente.

Per x = 1,  la derivata si annulla, la funzione ha un minimo.

Ciao @alby