Funzioni con parametro

$ f(x) = \frac{ax+b}{x+c} $

a.

3 condizioni:

i. Il dominio = ℝ\{-1} 

ovvero x+c = 0 per x = -1 ⇒ c = 1

ii. passa per Q(0, -4)

$ -4 = \frac{b}{c}  ⇒  b = - 4$

iii. Passa per P(2, 0)

$ 0 = \frac{2a -4}{2+1} ⇒ a = \frac{4}{2} = 2 $

La funzione è quindi $ f(x) = \frac{2x-4}{x+1} $ 

Si tratta della funzione omografica, cioè un'iperbole equilatera con gli assi paralleli agli assi cartesiani.

b.

Asse dell'iperbole parallelo all'asse delle x

$ \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2 $

• Grafico: https://www.desmos.com/calculator/pauf3eklvu
• Immagine = ℝ\{2}
• Insieme dei punti di accumulazione = ℝ U {±∞}

c.

La funzione f(x) ammette inversa visto che è bigettiva.

⊳ E' bigettiva

• E' surgettiva sull'immagine. Segue dalla definizione di immagine
• E' iniettiva. Si dimostra per assurdo. Scegliamo due punti differenti del dominio. x₁ ≠ x₂ e per assurdo supponiamo che f(x₁) = f(x₂) per cui

$\frac{2x₁-4}{x₁+1} = \frac{2x₂-4}{x₂+1} $

$ (2x₁-4)(x₂+1) = (2x₂-4)(2x₁-4) $

dopo pochi passaggi

$ (x₁-x₂) = -2(x₁-x₂) $  e questo è assurdo a meno che x₁ ≠ x₂.

f(x) è bigettiva quindi invertibile.

Per trovare l'inversa passiamo attraverso i classici 3 step

1. Riscrivere la funzione nella forma $y = \frac{2x-4}{x+1} $ 
2. Scambia tra loro le variabili.  $ x = \frac{2y-4}{y+1} $
3. Risolvi ricavando la y. $ x(y+1) = 2y-4 $ .....

$ y = - \frac{x+4}{x-2} $

$ y = \frac{x+4}{2-x} $

e questa è la formulazione della funzione inversa, ovvero

$ f^{-1}(x) = \frac{x+4}{2-x} $