Funzioni con parametri

$f(x)=\ln(\sqrt{2}-\sqrt{\cos x+a})$

Perché la funzione sia definita, i radicandi devono essere maggiori o uguali a zero e l'argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi poniamo:

$\sqrt{2}-\sqrt{\cos x+a} >0$

$\sqrt{\cos x+a} <\sqrt{2}$

Poniamo $\cos x+a \geq 0 \implies \cos x \geq -a$. Nota che $-1 \leq \cos x \leq 1$, quindi ci serve capire dove si colloca $-a$ in questa relazione. Stiamo cercando un valore per cui esiste almeno un $x$ per cui la radice esiste, questo avviene quando $-a=1$ (o meglio, per questo valore la radice esiste solo per $x=2\pi k$), il valore massimo che può assumere la funzione, quindi: $-1 \leq \cos x \leq -a \leq 1$. Considerando solo le ultime due disuguaglianze, $-a \leq 1 \implies a \geq -1$.

Risolviamo la prima disequazione:

$\sqrt{\cos x +a} < \sqrt{2}$

$\cos x <2-a$

Analogamente $-1<2-a \leq \cos x \leq 1$, quindi $-1<2-a \implies a<3$, quindi i valori di $a$ cercati sono compresi nell'intervallo $[-1,3)$.