Considera la funzione $f(x)=\frac{a x^2+b-2}{x^2+c}$ e trova i coefficienti $a, b, c$ in modo che il suo grafico abbia un flesso in $(2 ;-3)$ e un estremo relativo di ordinata $-1$.
$$
[a=-9 ; b=-10 ; c=12]
$$
Sto impazzendo con questo esercizio. Grazie
303
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Livello 1
3883
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Livello 2
@alfonso3 grazie mille!
@alfonso3 Purtroppo non capisco perché f(0)=-1
Noi sappiamo che l'ordinata é -1, ma come possiamo dire che l'ascissa é 0?
Grazie
"Sto impazzendo" è un'iperbole, ma il concetto retrostante è giustificato: l'autore dell'esercizio ne ha completamente trascurato gli esasperanti arzigogoli.
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Alle espressioni
* f(x) = y = (a*x^2 + b - 2)/(x^2 + c)
* f'(x) = 2*(a*c - (b - 2))*x/(x^2 + c)^2
* f''(x) = 2*((a*c - (b - 2))*c - 3*(a*c - (b - 2))*x^2)/(x^2 + c)^3
tutt'e tre definite per
* x^2 != - c
si applicano i vincoli imposti dalle condizioni richieste.
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A) "abbia un flesso in (2, - 3)" ≡ (f(2) = - 3) & (f''(2) = 0)
* f(2) = - 3 ≡ (a*2^2 + b - 2)/(2^2 + c) = - 3 ≡
≡ (c = - (4*a + b + 10)/3) & (b != 2*(1 - 2*a))
* (f''(2) = 0) & (c = - (4*a + b + 10)/3) & (b != 2*(1 - 2*a)) ≡
≡ ((a + 3)*(4*a + b + 46)/3 = 0) & (b != 2*(1 - 2*a)) ≡
≡ (a = - 3) & (b != 14) oppure (b = - 2*(2*a + 23))
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C) "abbia un estremo relativo di ordinata - 1" ≡
≡ (f(x) = - 1) & (f'(x) = 0) & (f''(x) != 0) ≡
≡ ((a*x^2 + b - 2)/(x^2 + c) = - 1) & (2*(a*c - (b - 2))*x/(x^2 + c)^2 = 0) & ((a*c - (b - 2))*(3*x^2 - c)/(x^2 + c) != 0) ≡
≡ (x = 0) & (c = 2 - b) & ((a + 1)*(b - 2) != 0) ≡
≡ (x = 0) & (c = 2 - b) & (a != - 1) & (b != 2)
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D1) (a = - 3) & (b != 14) & (c = 2 - b) & (a != - 1) & (b != 2) ≡
≡ (a = - 3) & (c = 2 - b) & (b != 2) & (b != 14)
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D2) (b = - 2*(2*a + 23)) & (c = 2 - b) & (a != - 1) & (b != 2) ≡
≡ (b = - 2*(2*a + 23)) & (c = 4*(a + 12)) & (a != - 12) & (a != - 1)
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VOGLIO VEDERE COSA COMPORTANO DUE SOLUZIONI INDETERMINATE
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1) (a = - 3) & (c = 2 - b) & (b != 2) & (b != 14)
* f(x) = y = (4 - 2*b)/(x^2 + 2 - b) - 3
* f'(x) = 4*(b - 2)*x/(x^2 + 2 - b)^2
* f''(x) = 4*(2 - b)*(3*x^2 - (2 - b))/(x^2 + 2 - b)^3
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* f(2) = y = (4 - 2*b)/(2^2 + 2 - b) - 3 = (b - 14)/(6 - b)
INACCETTABILE
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2) (b = - 2*(2*a + 23)) & (c = 4*(a + 12)) & (a != - 12) & (a != - 1)
* f(x) = y = a - 4*(a + 12)*(a + 1)/(x^2 + 4*(a + 12))
* f'(x) = 8*(a + 12)*(a + 1)*x/(x^2 + 4*(a + 12))^2
* f''(x) = 8*(a + 12)*(a + 1)*(4*(a + 12) - 3*x^2)/(x^2 + 4*(a + 12))^3
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* f(2) = y = - 12/(a + 13) = - 3 ≡ a = - 9
da cui
(b = - 2*(2*(- 9) + 23)) & (c = 4*(- 9 + 12)) ≡
≡ (b = - 10) & (c = 12)
che ha tutto l'aspetto del risultato atteso.
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Genius I
@exprof grazie mille
