[Risolto] funzioni con 2 variabili

1)

Ciao, 

Ti spiego il metodo rapidamente e poi passiamo agli esercizi:

dobbiamo andare a trovare un funzione g dipendente da solo da $\rho$ per il quale si verifichi:

$|f(\rho cos(\theta),\rho sin(\theta))-f(x_{0},y_{0})|\leq g(\rho)$

e poi verificare che

$lim_{\rho\rightarrow 0} g(\rho )=0$

1)

Sia:

$f(x,y)=\begin{matrix}
\frac{x^4+xy-xy^2}{|x|+y^2}& (x,y)\neq(0,0) \\
0 & (x,y)=(0,0) \end{matrix}$

Andiamo a cerca la nostra g

$|\frac{(\rho cos(\theta))^4+(\rho cos(\theta)\rho sin(\theta))-\rho cos(\theta)(\rho sin(\theta))^2}{|\rho cos(\theta)|+(\rho sin(\theta)^2)}|$

Sistemiamoci un po le cose:
 
$|\frac{\rho^3 cos^4(\theta)+\rho cos(\theta)sin(\theta))-\rho^2 cos(\theta) sin^2(\theta)}{|cos(\theta)|+\rho sin^2(\theta)}|$

Ora ragioniamo sul numeratore:

$\rho^3 cos^4(\theta)+\rho cos(\theta)sin(\theta)-\rho cos(\theta)sin^2(\theta)$

$cos^4(\theta)$ è sempre compreso tra $[0,1]$

$cos(\theta)sin(\theta)$ è sempre compreso tra $[-1/2,1/2]$ dato che il max di $cos(\theta)sin(\theta)$ sia ha se $\theta=\frac{\pi}{4} +k\pi$ e il min per $\theta=-\frac{\pi}{4} +k\pi$

$cos(\theta)sin^2(\theta)$ è sempre compreso tra $[-\frac{3}{8},\frac{3}{8}]$

Per cui:

$|\rho^3 cos^4(\theta)+\rho cos(\theta)sin(\theta)-\rho^2 cos(\theta)sin^2(\theta)| < \rho^3 + \frac{\rho}{2}+\frac{3}{8}\rho^2$

Ora ragioniamo sul denominatore:

$|cos(\theta)|$ avrà sempre un valore compreso tra $[0,1]$

$sin^2(\theta)$ ugualmente sarà sempre compreso in $[0,1]$

Per cui:

$||cos(\theta)|+\rho sin^2(\theta)|< 1+\rho$

Per ciò:

$|\frac{\rho^3 cos^4(\theta)+\rho cos(\theta)sin(\theta))-\rho sin^2(\theta)}{|cos(\theta)|+\rho^2 cos(\theta) sin^2(\theta)}|<\frac{\rho^3 + \frac{\rho}{2}+\frac{3}{8}\rho^2}{1+\rho}$

Abbiamo trovato la nostra $g$.

Si verifica facilmente che:

$lim_{\rho \rightarrow 0} \frac{\rho^3 + \frac{\rho}{2}+\frac{3}{8}\rho^2}{1+\rho}=0$

Quindi f è continua in $(0,0)$

Prova a proseguire con gli altri se hai capito, altrimenti dimmelo che li svolgo, che si scrivere in Latex ha bisogno di tempo

ciao ho notato che hai saltato una x. Ho provato a farlo e dovrei essere riuscito comunque. adesso provo con gli altri e vedo se riesco.

Altrimenti scrivo ancora. per ora grazie