Date 2 funzioni : f(x)=sqrt(x) e g(x)=x^2-1 trova le rispettive funzioni composte. Determina e spiega molto bene i vari domini che si presentano.
Volevo capire meglio la seconda richiesta dell'esercizio mi aiutate? Quanti domini devo calcolare e che ragionamenti devo fare? Grazie!
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Livello 2
date due generiche funzioni f(x) e g(x) il dominio della composizione
g◦f(x) := g(f(x)) è l'insieme delle x appartenenti al dominio della f(x) tale che la loro immagine (f(x) sia un elemento del dominio della g(x). In forma simbolica
dom g◦f(x) := {x ∈ dom f(x) : f(x) ∈ dom g(x)}
Nel nostro caso, le funzioni date sono
$\begin{align} f\colon [0, +\infty) &\to [0,+\infty)\\ x &\mapsto \sqrt{x} \end{align}$
$\begin{align} g\colon ℝ &\to ℝ\\ x &\mapsto x^2-1 \end{align}$
per cui
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Livello 6
@cmc OK cmc, domanda? trovati i domini da te indicati non devo confrontare nessun risultato giusto? Già li impongo nei domini giusto? Grazie
\[(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 1) = \sqrt{x^2 - 1} \implies \mathcal{D}(f \circ g): x \leq -1 \lor x \geq 1 \mid x\in \mathbb{R}\,.\]
\[(g \circ f)(x) = g(f(x)) = x - 1 \implies \mathcal{D}(g \circ f):\; \forall x \geq 0 \mid x \in \mathbb{R}\,,\]
in quanto la funzione interna deve essere definita per il calcolo della funzione composta.
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Livello 5
@enrico_bufacchi Scausmai Enrico:
--) gof=x-1 ok. Il dominio di gof è : Tutto R. Il dominio di g(x) è : Tutto R.
La composizione si può fare se , deve garantire che 𝑓 si possa calcolare sul risultato di 𝑔(𝑥). In altre parole, 𝑔 deve associare a ogni elemento 𝑥 del proprio dominio un elemento 𝑦 del dominio di 𝑓. Quindi per gof non ci sono problemi ogni elemento di g(x) è contenuto in f.
--) fog=sqrt(x^-1) ok. Il dominio di fog è : x<=-1 v x>=1 . Il dominio di f(x) è : x>=0
La composizione si può fare se , deve garantire che g si possa calcolare sul risultato di f(𝑥). In altre parole, f deve associare a ogni elemento 𝑥 del proprio dominio un elemento 𝑦 del dominio di g. Qui invece non mi torna! Ho un fx>=0 e g x<=-1 v x>=1
Ciao @ALBY,
\[\mathcal{D}(f) : \{x \mid x \in \mathbb{R}, \, x \geq 0\}\]
\[\mathcal{D}(g) : \forall x \in \mathbb{R} \land \text{Cod}(g) = \{y \mid y \in \mathbb{R}, \, y \geq 0\} \equiv \mathcal{D}(f)\,.\]
Ti stai confondendo con il dominio della funzione composta. Le ipotesi sono soddisfatte, ergo è applicabile la composizione.
sono possibili due funzioni composte in base all'ordine
f[g(x)] = sqrt (x^2 - 1) definita per x^2 - 1 >= 0 => x <= -1 V x >= 1
g[f(x)] = (sqrt(x))^2 -1 = x - 1 definita in R
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Livello 7
@eidosm Grazie Edison per la risposta. FIno alle due composizioni ci sono con i rispettivi domini, Mi manca da capire il perchè si può fare la composizione? Ovvero la logica dei domini. Grazie!
Per maggiori dettagli
f(x) é definita per x >= 0 e quindi g[f(x)] va considerata solo per x >= 0
g(x) é definita in tutto R per cui f[g(x)] é definita per x <= -1 V x >= 1
@eidosm Scusami Edison:
--) gof=x-1 ok. Il dominio di gof è : Tutto R. Il dominio di g(x) è : Tutto R.
La composizione si può fare se , deve garantire che 𝑓 si possa calcolare sul risultato di 𝑔(𝑥). In altre parole, 𝑔 deve associare a ogni elemento 𝑥 del proprio dominio un elemento 𝑦 del dominio di 𝑓. Quindi per gof non ci sono problemi ogni elemento di g(x) è contenuto in f.
--) fog=sqrt(x^-1) ok. Il dominio di fog è : x<=-1 v x>=1 . Il dominio di f(x) è : x>=0
La composizione si può fare se , deve garantire che g si possa calcolare sul risultato di f(𝑥). In altre parole, f deve associare a ogni elemento 𝑥 del proprio dominio un elemento 𝑦 del dominio di g. Qui invece non mi torna! Ho un fx>=0 e g x<=-1 v x>=1
