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[Risolto] funzioni, salve potreste aiutarmi a svolgere questo esercizio?

  

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E' data la funzione $f(x)=-e^{|x|-x}-2$.
a. Trova il dominio, l'insieme immagine e il segno di $f(x)$.
b. Disegna il grafico di $f(x)$ e di $|f(x)|$.
c. Opera una restrizione del dominio in modo che $f(x)$ sia invertibile e trova $f^{-1}(x)$ graficamente e algebricamente.

IMG 6836
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Sviluppando il modulo

{y = -e^0 -2 = -3           per x>=0

{y = -e^(-2x) -2     per x<0

Dominio: R, non ci sono singolarità o condizioni di esistenza da porre.

 

Per x<= 0 si ha e^(-2x) >=1 --> -e^(-2x) <=-1. Per x<=0 --> y<-3 e per x>=0 --> y<=-3

Quindi l'insieme immagine risulta y<=-3. In più è sempre negativa nel dominio di definizione ( somma di funzioni negative).

Grafici:

image
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Perchè si possa invertire la funzione deve essere sia iniettiva che suriettiva. Nel tratto x>=0 la funzione non è iniettiva quindi bisogna valutare x<0. In questo caso la funzione è monotona decrescente strettamente quindi si può invertire.

y = -e^(-2x) -2 , x = -e^(-2y) -2 ,   -(x+2) =e^(2y),    ln(-x-2) = 2y, y = 1/2 * ln(-x-2) 

f^-1(x) = 1/2 * ln(-x-2) per x<0



Risposta
SOS Matematica

4.6
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