[Risolto] funzioni

Consideriamo la derivata

y' = 1*e^(1 + 1/x) + (x + a) * e^(1 + 1/x) * (-1/x^2)     con x =/= 0 

e riscriviamola come

y' = e^(1 + 1/x) * [ 1 - (x + a)/x^2 ] =

= e^(1 + 1/x)/x^2 * (x^2 - x - a)

Solo l'ultimo fattore scritto può cambiare segno.

Imponendo che xo = -2 sia un punto stazionario, risulta

4 + 2 - a = 0 => a = 6

e si verifica subito che é un massimo, perché

x^2 - x - 6 >= 0

x^2 - 3x + 2x - 6 >= 0

x(x - 3) + 2(x - 3) >= 0

(x - 3)(x + 2) >= 0

x <=-2 V x >= 3 sono gli intervalli di crescenza

nel punto x =-2 la funzione passa da crescente a decrescente

e quindi si tratta di un massimo.

https://www.desmos.com/calculator/ldtoq4fjlc

Derivate prima della funzione y'(x) = 0;

Derivata di un prodotto di funzioni:

y'(x) = {1 *  e^[(x +1)/x]} + {(x + a) *  e^[(x +1)/x]  * (- 1/x^2)};

y'(x) = e^[(x +1)/x] * [1 - (x + a)/x^2];

per x = - 2:

y'(-2) = e^1/2 * [1 - (- 2 + a)/4];

y'(-2) = e^1/2 * [1 +  (+ 2 - a)/4];

e^1/2 > 0;

y'= 0 se:

(4 + 2 - a) / 4 = 0;

6 - a = 0;

a = 6.

y (x) = (x + 6) * e^[(x +1)/x].

Ciao @schianame

"DETERMINA a IN MODO CHE ..."
Affinché la funzione
* f(x, a) = y = (x + a)*e^((x + 1)/x) = (x + a)*e^(1/x + 1)
definita ovunque tranne che nell'origine, abbia un "punto di massimo" in M(- 2, (a - 2)*√e) occorre e basta che la condizione di massimo relativo
* (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0)
risulti vera per x = - 2.
Pertanto occorrono i seguenti calcoli.
* f'(x) = ((x^2 - x - a)/x^2)*e^(1/x + 1)
* f''(x) = (((2*a + 1)*x + a)/x^4)*e^(1/x + 1)
* (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0) ≡
≡ (((x^2 - x - a)/x^2)*e^(1/x + 1) = 0) & ((((2*a + 1)*x + a)/x^4)*e^(1/x + 1) < 0) ≡
≡ (x^2 - x - a = 0) & ((2*a + 1)*x + a < 0)
e, per x = - 2,
* ((- 2)^2 - (- 2) - a = 0) & ((2*a + 1)*(- 2) + a < 0) ≡
≡ (a = 6) & (a > - 2/3) ≡
≡ a = 6
da cui
* f(x) = y = (x + 6)*e^(1/x + 1)
"RAPPRESENTA POI ..."
Vedi ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3D%28x--6%29*e%5E%281%2Fx--1%29
http://www.wolframalpha.com/input?i=asymptotes+y%3D%28x--6%29*e%5E%281%2Fx--1%29
http://www.wolframalpha.com/input?i=lim+%28x--6%29*e%5E%281%2Fx--1%29