funzioni

$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{ax+1}} + bx $

• Dominio. Le funzioni sono definite per ax > -1

Questo significa che si tratta di un asintoto obliquo destro.

Dalle formule per il calcolo dell'asintoto obliquo, ricaviamo

$ m = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = -2$

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x\sqrt{ax+1}}+b = -2$

$ 0 + b = -2  $

L'espressione della funzione è così $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{ax+1}} - 2x $  

nota. Per esercizio puoi verificare che il valore di q calcolato con il limite sia proprio lo 0.

Si tratta di determinare il valore della costante a. Sappiamo che il punto P(3, -11/2) appartiene al grafico della funzione, per cui

$ f(3) = -\frac{11}{2} $

$ \frac{1}{\sqrt{3a+1}} - 6 = -\frac{11}{2} $

$ \frac{1}{\sqrt{3a+1}} = \frac{1}{2} $

$ 2 = \sqrt{3a+1} \; ⇒ \; a = 1 $

La funzione è così $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}} - 2x $ 

Foto dritta!!!

y = 1/√(a·x + 1) + b·x

passa da [3, - 11/2]

quindi:

1/√(3·a + 1) + 3·b = - 11/2    (**)

Per x → +∞ : y → b·x

Quindi deve essere: b = -2

essendo y = - 2·x suo asintoto obliquo

Quindi la condizione ** precedente  diventa:

1/√(3·a + 1) + 3·(-2) = - 11/2----> (1 - 6·√(3·a + 1))/√(3·a + 1) = - 11/2

risolta fornisce:     a = 1

La funzione è:

y = 1/√(x + 1) - 2·x

C.E. x > -1

x=-1 è asintoto verticale per la funzione.