Funzione W lambert

Riscrivila prima come

e^[ 2/3 ln 2 * x ] = 4 (x - 2)

4 (x - 2) e^[ - 2/3 ln 2 * (x - 2 + 2 ) ] = 1

(x - 2) e^ [ -2/3 ln 2 * (x - 2) ] * e^(-4/3 ln 2 ) = 1/4

(x - 2) e^(-2/3 ln 2 * (x - 2) ] = 1/4 * 2^(-4/3)

- 2/3 ln 2 * (x - 2) * e^(-2/3 ln 2 *(x - 2) ) = 2^(-10/3) * (-2/3) ln 2

- 2/3 ln 2 * (x - 2) = W [ 2^(-10/3) * (-2/3) ln 2 ]

x = 2 - 3/(2 ln 2) * W [ 2^(-10/3) * (-2/3) ln 2 ] 

L'equazione
* 2^((2/3)x)=4x-8 ≡ 2^(2*x/3) = 4*(x - 2)
presenta, per ispezione, due radici reali
* x = 3: 2^(2*3/3) = 4*(3 - 2) ≡ 4 = 4
* x = 6: 2^(2*6/3) = 4*(6 - 2) ≡ 16 = 16
e, poiché un'esponenziale e una retta hanno al più due punti comuni, ciò esaurisce la risoluzione.
Però risolvere per ispezione non usa la funzione di Lambert.
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Il grafico in alto a destra dell'articolo al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_W_di_Lambert
mostra tutt'e due le sole W reali: in rosso W_(-1) e in blu W_0.
Io, in linea di massima (anche senza la precedente soluzione), di radici reali me ne attenderei due salvo ripiegare.
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Dall'equivalenza
* 2^((2/3)x)=4x-8 ≡ log(2, x) = (2/3)*(x - 3) ≡
≡ (y = (2/3)*(x - 3)) & (y = log(2, x))
si tratta di trovare gli eventuali punti comuni fra la retta r di pendenza m = 2/3 e intercetta q = - 2 e la semplice logaritmica Γ in base due di pendenza m(x) = 1/(ln(2)*x).
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* m(x) = 1/(ln(2)*x) = 2/3 ≡ x = 3/ln(4)
* y = log(2, 3/ln(4))
* T(3/ln(4), log(2, 3/ln(4)))
* t ≡ y = (2/3)*x - (1 + ln((2*ln(2))/3))/ln(2)
* - (1 + ln((2*ln(2))/3))/ln(2) ~= - 0.328966 > q = - 2
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Ora, visto che ogni logaritmica volge la concavità verso y < 0, se la tangente t parallela alla r ha un'intercetta superiore a quella di r allora la r dev'essere secante e le radici reali sono di fatto due.
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Dimostrare che esse appartengono una a W_(-1) e l'altra a W_0 è sicuramente al di là della mia pazienza e fors'anche della mia agilità manipolatoria, però puoi provarci tu già sapendo il risultato da ottenere.
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Se ho divagato troppo, chiedo scusa.