[Risolto] Funzione lineare y=a sin x+b cos x e angolo aggiunto

@francesc03

Ciao.

Facciamo il primo come suggerito dal testo.

y = √2·SIN(x) - √2·COS(x) - 1

Poniamo la somma:

a·SIN(x) + b·COS(x) = r·SIN(x + α)

Calcoliamo r:

r = √(a^2 + b^2)

ponendo:

a = √2

b = - √2

otteniamo: r =2

Sappiamo che:

2·SIN(x + α) = 2·(SIN(x)·COS(α) + SIN(α)·COS(x))

quindi deduciamo che:

{2·COS(α) = √2

{2·SIN(α) = - √2 L'angolo è del 4° quadrante

Calcoliamo:

TAN(α) = SIN(α)/COS(α)---------> TAN(α) = -1 (serviti della circonferenza goniometrica!)

Quindi: α = - pi/4

Ottenuti r ed α : y = √2·SIN(x) - √2·COS(x) - 1 la possiamo scrivere come:

y = 2·SIN(x - pi/4) - 1

Grafico qualitativo:

1) prendiamo la funzione seno

2) la trasliamo a destra della misura di x=pi/4

3) la facciamo ondeggiare fra -2 e 2

4) l'abbassiamo di una unità

EX. 76 ( senza spiegazioni o quasi)

y = 1/4·SIN(x) + √3/4·COS(x)

y = r·SIN(x + φ)

a = 1/4

b = √3/4

r = √(a^2 + b^2)------> r = √((1/4)^2 + (√3/4)^2)-----> r = 1/2

1/2·SIN(x + φ) = 1/2·(SIN(x)·COS(φ) + SIN(φ)·COS(x))

{1/2·COS(φ) = 1/4

{1/2·SIN(φ) = √3/4 ANGOLO 1° QUADRANTE

TAN(φ) = SIN(φ)/COS(φ)-------> TAN(φ) = √3/4·4-----> TAN(φ) = √3----> φ = pi/3

Quindi: y = 1/2·SIN(x + pi/3)

Grafico qualitativo:

1) prendo la funzione seno che ondeggia tra -1 ed1

2) riduco l'ondeggiamento portandolo fra -1/2 ed 1/2

3) la traslo a sinistra di pi/3

Il metodo dell'angolo aggiunto si basa sulla formula di addizione del seno
* sin(x + k) = cos(k)*sin(x) + sin(k)*cos(x)
e si usa per ridurre le combinazioni lineari di seno e coseno dello stesso argomento x al primo membro dell'equazione
* a*sin(x) + b*cos(x) = c
o al secondo membro della funzione
* y = a*sin(x) + b*cos(x) + c
alla forma di solo seno, ma sfasato della variabile ausiliaria k e con una condizione restrittiva sui coefficienti (la somma dei quadrati dev'essere uno) a cui si soddisfà normalizzandoli (sviluppo solo il primo caso).
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* a*sin(x) + b*cos(x) = c ≡
≡ (a/√(a^2 + b^2))*sin(x) + (b/√(a^2 + b^2))*cos(x) = c/√(a^2 + b^2) ≡
≡ A*sin(x) + B*cos(x) = C
così, ovviamente, si ha
* A^2 + B^2 = (a/√(a^2 + b^2))^2 + (b/√(a^2 + b^2))^2 = 1
* (A*sin(x) + B*cos(x) = C) & (A^2 + B^2 = 1) ≡
≡ (cos(k)*sin(x) + sin(k)*cos(x) = C) & (cos^2(k) + sin^2(k) = 1) ≡
≡ (sin(x + k) = C) & (Vero) ≡
≡ sin(x + k) = C
e questa è un'equazione elementare dove
* C = c/√(a^2 + b^2)
* k = arctg(b/a)
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Parimenti, nel secondo caso, si ha
* y = a*sin(x) + b*cos(x) + c ≡
≡ y = sin(x + arctg(b/a)) + c/√(a^2 + b^2)
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ESERCIZIO 75
* a = √2
* b = - √2
* c = - 1
* √(a^2 + b^2) = √(2 + 2) = 2
* c/√(a^2 + b^2) = - 1/2
* arctg(b/a) = arctg(- 1) = - π/4
e con ciò si ottiene la semplice
* y = sin(x - π/4) - 1/2
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dsin%28x-%CF%80%2F4%29-1%2F2
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ESERCIZIO 76
Pari pari al 75