[Risolto] Funzione e fattore di montante, chiedo aiuto nella risoluzione

La funzione
* f(t) = (1 + 4*t)/(1 + t)
è definita positiva ∀ t >= 0, con f(0) = 1, f(∞) = 4 (scorretto!) e derivata prima
* f'(t) = 3/(1 + t)^2 > 0 ∀ t ∈ R
quindi soddisfà alle tre condizioni
1) definita per 0 <= t <= T
2) f(0) = 1
3) monotòna ascendente (f(t) >= f(t - ε) ∀ t ∈ [0, T] ∀ ε > 0 | f'(t) >= 0)
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) "Verificare ...": sì, lo è.
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b) "Utilizzare ..."
* 5000*f = 10000 ≡ (1 + 4*t)/(1 + t) = 2 ≡ t = 1/2 anno
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c) "Stabilire ..."
* f(T) = (1 + 4*T)/(1 + T)
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con 0 < a < T
* f(a) = (1 + 4*a)/(1 + a)
* f(T - a) = (1 + 4*(T - a))/(1 + (T - a))
* f(a) + f(T - a) =
= (1 + 4*a)/(1 + a) + (1 + 4*(T - a))/(1 + (T - a)) =
= (8*a*(T - a) + 5*T + 2)/((1 + a)*(T + (1 - a)))
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* f(t) = (1 + 4*t)/(1 + t) è scindibile ≡
≡ f(a) + f(T - a) = f(T) ≡
≡ f(a) + f(T - a) - f(T) = 0 ≡
≡ (8*a*(T - a) + 5*T + 2)/((1 + a)*(T + (1 - a))) - (1 + 4*T)/(1 + T) = 0 ≡
≡ ((4*a + 1)*T^2 - (4*a^2 - 7*a - 2)*T - (7*a^2 - 1))/((1 + a)*(T + (1 - a))*(1 + T)) = 0 ≡
≡ (4*a + 1)*T^2 - (4*a^2 - 7*a - 2)*T - (7*a^2 - 1) = 0
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* ((4*a + 1)*T^2 - (4*a^2 - 7*a - 2)*T - (7*a^2 - 1) = 0) & (0 < a < T) ≡
≡ impossibile ≡
≡ no, non lo è.

Ciao @elisaaaaa

premetto che non mi ricordo di avere insegnato tale argomento negli anni passati, prendi la mia risoluzione con le pinze ed aspetta altri responsi.

La funzione che esprime il fattore di montante :

IF(t > 0, (1 + 4·t)/(1 + t))

è parte di una funzione omografica ed ha l'andamento di figura:

rispetta le tre condizioni date al link:

https://www.infonotizia.it/le-3-condizioni-di-esistenza-del-fattore-di-montante/#text=1)%20La%20funzione%20fattore%20di,)%20%3E%2F%3D%20a%200%20)%

Penso che a questo punto possa scrivere:

Μ = C·f

con C= 5000 €

si ha

Μ = 5000·(1 + 4·t)/(1 + t)

Quindi deve essere:

5000·(1 + 4·t)/(1 + t) = 10000

che si ha per t = 1/2 anno (possibile?)

Per quel che concerne la scindibilità della legge: vedi la definizione:

Si dice che una legge di capitalizzazione è scindibile se il montante che si ottiene interrompendo la capitalizzazione e riprendendola immediatamente alle stesse condizioni, cioè con la stessa legge di capitalizzazione, è lo stesso che si otterrebbe senza interruzione

In base alla quale non credo che tale legge possa esserlo.

Prendiamo ad esempio t=1/3 anno (4 mesi)

Μ = 5000·(1 + 4·(1/3))/(1 + 1/3)

si ha:

Μ = 8750 €

che costituiscono il capitale iniziale per la seconda parte di capitalizzazione

1/2 - 1/3 = 1/6 anno (2 mesi)

Μ = 8750·(1 + 4·1/6)/(1 + 1/6)---> Μ = 12500 €

che non è quanto hai ottenuto in precedenza.

P.S. spero di avere capito bene