Funzione con parametri

Risolvo sino al punto a)

y = (a·x^3 + b·x^2 + c·x + d)/x^2

Retta tangente

per 2 punti: [0, -1] e [3, 5]

(y + 1)/(x - 0) = (5 + 1)/(3 - 0)---> (y + 1)/x = 2

quindi: y = 2·x - 1

per x=1 la retta passa per y = 2·1 - 1----> y = 1

quindi per [1, 1] per tale punto passa anche la funzione in esame.

La funzione in esame passa poi anche da [-1, 5] in base alla figura assegnata.

Quindi possiamo scrivere già due equazioni:

{1 = (a·1^3 + b·1^2 + c·1 + d)/1^2

{5 = (a·(-1)^3 + b·(-1)^2 + c·(-1) + d)/(-1)^2

Dobbiamo calcolare poi le prime due derivate:

y'= (a·x^3 - c·x - 2·d)/x^3

y'' = 2·(c·x + 3·d)/x^4

che forniscono due ulteriori equazioni.

{(a·1^3 - c·1 - 2·d)/1^3 = 2 (significato geometrico di derivata)

{2·(c·1 + 3·d)/1^4 = 0 (condizione per il punto di flesso)

Risolvo quindi il sistema:

{a + b + c + d = 1

{a - b + c - d = -5

{a - c - 2·d = 2

{c + 3·d = 0

ed ottengo: [a = 1 ∧ b = 2 ∧ c = -3 ∧ d = 1]

quindi la funzione: y = (x^3 + 2·x^2 - 3·x + 1)/x^2

 

 

Con
* ({a, b, c, d, x, y} ⊂ R) & (x != 0)
si ha
* f(x) = y = (a*x^3 + b*x^2 + c*x + d)/x^2
* f'(x) = m(x) = (a*x^3 - c*x - 2*d)/x^3
* f''(x) = 2*(c*x + 3*d)/x^4
dove nomino γ il grafico di f(x) ed m(x) la sua pendenza all'ascissa x.
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A) La retta t, congiungente (0, - 1) e (3, 5) con pendenza m = 2,
* t ≡ y = 2*x - 1
passa per F(1, 1) dove dev'essere la tangente di flesso a γ, quindi si deve avere
* (f(1) = 1) & (f'(1) = 2) & (f''(1) = 0)
si deve anche avere
* f(- 1) = 5
e, con quattro condizioni, si dovrebbero poter determinare i quattro parametri (sempreché i vincoli che ne derivano risultino indipendenti).
* (f(- 1) = 5) & (f(1) = 1) & (f'(1) = 2) & (f''(1) = 0) ≡
≡ (- a + b - c + d = 5) & (a + b + c + d = 1) & (a - c - 2*d = 2) & (2*(c + 3*d) = 0) ≡
≡ (a = 1) & (b = 2) & (c = - 3) & (d = 1)
da cui
* f(x) = y = (x^3 + 2*x^2 - 3*x + 1)/x^2
* f'(x) = m(x) = (x^3 + 3*x - 2)/x^3
* f''(x) = 6*(1 - x)/x^4
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B) Ogni parabola Γ non degenere con: asse di simmetria parallelo all'asse y, apertura a != 0, vertice V(w, h); ha equazione della forma
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
"con il vertice sull'asse y" ≡ w = 0 →
→ Γ ≡ y = h + a*x^2 con pendenza m(x) = 2*a*x
"tangente γ in B(1/2, f(1/2))" ≡ (1/2 = h + a*(1/2)^2) & (2*a*1/2 = - 3) ≡ (a = - 3) & (h = 5/4)
(in quanto f(1/2) = 1/2 ed f'(1/2) = - 3) da cui
* Γ ≡ y = 5/4 - 3*x^2
Vedi ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%28x%5E3--2*x%5E2-3*x--1%29%2Fx%5E2%2Cy%3D5%2F4-3*x%5E2%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%28x%5E3--2*x%5E2-3*x--1%29%2Fx%5E2%2Cy%3D5%2F4-3*x%5E2%5Dx%3D0to1
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C) Il sistema
* (y = k) & (y = 5/4 - 3*x^2) & (0 < k < 5/4) ≡
≡ (- √((5 - 4*k)/12), k) oppure (√((5 - 4*k)/12), k)
individua i vertici
* A(- √((5 - 4*k)/12), 0), B(√((5 - 4*k)/12), 0), C(√((5 - 4*k)/12), k), D(- √((5 - 4*k)/12), k)
di area
* S(k) = k*√((5 - 4*k)/3)
che, con
* S'(k) = (5 - 6*k)/√(3*(5 - 4*k))
* S''(k) = 4*(3*k - 5)/((√3)*(5 - 4*k)^(3/2))
ha eventuali massimi relativi nelle soluzioni di
* (S'(k) = 0) & (S''(k) < 0) ≡
≡ ((5 - 6*k)/√(3*(5 - 4*k)) = 0) & (4*(3*k - 5)/((√3)*(5 - 4*k)^(3/2)) < 0) ≡
≡ (5 - 6*k = 0) & (5 - 4*k != 0) & (4*(3*k - 5)/((√3)*(5 - 4*k)^(3/2)) < 0) ≡
≡ (k = 5/6) & (5 - 4*5/6 != 0) & (4*(3*5/6 - 5)/((√3)*(5 - 4*5/6)^(3/2)) < 0) ≡
≡ (k = 5/6) & (5 - 4*5/6 = 5/3 != 0) & (4*(3*5/6 - 5)/((√3)*(5 - 4*5/6)^(3/2)) = - 6/√5 < 0) ≡
≡ k = 5/6