Funzione composta

Do per scontato che hai già trovato i coefficienti, per cui abbiamo:

$ f(x) = \frac{x+1}{x-2}$

Per trovare l'inversa dobbiamo isolare la x:

$ y(x-2) = x+1$

$ yx -2y = x+1$

$ yx -x = 2y +1$

$ x(y-1) = 2y +1$

$ x = \frac{2y+1}{y-1}$

Scambiamo ora il ruolo di x e y per ottenere l'inversa:

$ f^{-1}(x) = \frac{2x+1}{x-1}$

Ora, il dominio naturale di $f$ è $D_f: x \neq 2$, mentre il dominio dell'inversa è $D_{f'}: x\neq 1$.

Questo vuol dire che per fare in modo che $f o f^{-1} = f^{-1} o f = id$ dobbiamo chiedere che il dominio di entrambe le funzioni sia $D: R-\{1, 2\}$.

Noemi

Imponendo le due condizioni di appartenenza risulta

- 2 = (a+1)/(1+b)

a + 1 = -2 - 2b

a = -2b - 3

5/2 = (4a + 1)/(4 + b)

4a + 1 = 10 + 5/2 b

4(-2b - 3) + 1 = 10 + 5/2 b

- 8b - 5/2 b = 10 - 1 + 12

- 21/2 b = 21 => b = -2 e a = 4 - 3 = 1

e quindi

y = (x+1)/(x-2) definita per x =/= 2

la funzione inversa si ottiene da

(x - 2) y = x + 1

xy - x = 2y + 1

x(y - 1) = 2y + 1

x = (2y + 1)/(y - 1)

y = (2x + 1)/(x - 1)

Le due composte sono :

[(2x+1)/(x-1) + 1]/[(2x + 1)/(x - 1) - 2] =

= (2x + 1 + x - 1)/(2x + 1 - 2x + 2) = 3x/3 = x con x =/= 1

[ 2(x+1)/(x - 2) + 1]/[(x + 1)/(x - 2) - 1] =

= (2x + 2 + x - 2)/(x + 1 - x + 2) = 3x/3 = x con x =/= 2

Al dominio di entrambe le composte manca un punto ma non é lo stesso.

Esse quindi coincidono nel dominio comune che é R esclusi 1 e 2.