Chiediamo che:
$ f(1)=-2$
andando a sostituire $x=1$ e $f(x)=-2$:
$-2 = \frac{a+1}{1+b}$
Analogamente chiediamo che $f(4)=5/2$:
$\frac{5}{2} = \frac{4a+1}{4+b}$
Mettendo a sistema le due equazioni:
{$-2 = \frac{a+1}{1+b}$
{$\frac{5}{2} = \frac{4a+1}{4+b}$
da cui facendo il mcm:
{$ -2-2b = a+1$
{$20+5b = 8a+2$
Isolo la a dalla prima e sostituisco nella seconda:
{$a = -2b-3$
{$20+5b = -16b-24+2$ -> $21b=-42$ -> $b=-2$
Allora
{$a=4-3=1$
{$b=-2$
Quindi la funzione è:
$ f(x) = \frac{x+1}{x-2}$
Possiamo osservare che la funzione è iniettiva, essendo un'iperbole.
Gli asintoti dell'iperbole sono $x=-d/c=2$ e $y=a/c=1$, quindi la funzione non è suriettiva ma lo diventa se consideriamo come restrizione del codominio $R-\{1\}$ (dedotto dal fatto che y=1 è un asintoto). Inoltre questa funzione ha come dominio $R-\{2\}$.
Troviamo l'inversa andando ad isolare la x nella funzione:
$ y = \frac{x+1}{x-2}$
$ y(x-2) = x+1$
$ yx -2y = x+1$
$ yx-x = 2y+1$
$ x(y-1) = 2y+1$
$ x = \frac{2y+1}{y-1}$
Arrivati a questo punto, la funzione inversa si ottiene scambiando x e y:
$ f^{-1}(x)= y = \frac{2x+1}{x-1}$
In questo caso il dominio è $R-\{1\}$ mentre tenendo sempre presente che abbiamo come asintoto $y=2$ il codominio è $R-\{2\}$.
Vediamo la composizione:
$ f o f^{-1}(x) = f(f^{-1}(x)) = f( \frac{2x+1}{x-1}) = \frac{\frac{2x+1}{x-1}+1}{\frac{2x+1}{x-1}-2} = \frac{\frac{2x+1+x-1}{x-1}}{\frac{2x+1-2x+2}{x-1}} = \frac{3x}{3} = x$
e
$ f^{-1}of(x) = f^{-1}(f(x)) = f^{-1}( \frac{x+1}{x-2}) = \frac{2(\frac{x+1}{x-2})+1}{\frac{x+1}{x-2}-1} = \frac{\frac{2x+2+x-2}{x-2}}{\frac{x+1-x+2}{x-2}} = \frac{3x}{3}=x$
Quindi sono uguali se però chiediamo che i domini coincidano, cioè chiedendo che il dominio sia $R-\{1, 2\}$
Noemi
