Funzione

$ y(x) = \frac{x^2-1}{9-x^2} $

1. Dominio. Si tratta di una funzione razionale fratta quindi definita, continua e derivabile in tutti i punti reali che non annullano il denominatore
Dominio = ℝ\{-3, +3}

2. Simmetria. La funzione è pari, infatti f(-x) = f(x)
Essere pari, ovvero simmetrica rispetto all'asse delle y, ci può far risparmiare qualche calcolo e semplificare le verifiche.

3. Punti di discontinuità.
Per questa funzione i punti di discontinuità sono i punti dove la funzione non è definita ovvero x = ±3
Studiamone i relativi limiti determinando gli eventuali asintoti verticali.
$ \displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x) = -\infty$ 
$ \displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x) = +\infty$
Siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = 3
Per simmetria, sarà presente un asintoto verticale di equazione x = -3
il risultato dei limiti esclude l'esistenza di un massimo globale e di un minimo globale.

4. Asintoti orizzontali / obliqui
$ \displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -1$
La funzione ammette un asintoto orizzontale di equazione y = -1.
La presenza di un asintoto orizzontale esclude la presenza di asintoti obliqui

5. Intersezione con gli assi coordinati
a. con l'asse delle x (che ha equazione y = 0). Il sistema y(x) e y = 0 equivale a risolvere $x^2-1 = 0$ quindi x = ±1
b. con l'asse delle y (che ha equazione x = 0). Il sistema y(x) e x = 0 ha soluzione y = -1/9

6. Segno f(x). Impostiamo la griglia dei segni

____-3_____-1_______1______3______
+++++++++0---------0+++++++++++    x²-1
------X++++++++++++++++X----------    9-x²

------X+++++0---------0+++++X----------   y(x) 
per cui

1. y(x) < 0   per x∈(-∞, -3) U (-1, +1) U (3, +∞)
2. y(x) = 0   per x = ±1
3. y(x) > 0   per x (-3, -1) U (1, 3)

Passiamo allo studio della derivata prima.
7. derivata prima $ y'(x) = \frac{16x}{(9-x^2)^2} $

8. Punti stazionari. y'(x) = 0  ⇒ x = 0. Un solo punto stazionario. 
Se consideriamo i limiti studiati al punto 2. e il segno della funzione possiamo concludere che trattasi di un minimo locale. Il alternativa, possiamo studiare il segno della derivata prima

_____-3_____-1_____0_____1______3_____
-------------------------0+++++++++++++++    16x
++++X+++++++++++++++++++X+++++    (9-x²)²

-------X----------------0+++++++++X++++++    y'(x) 

possiamo così concludere che:

1. nell'intervallo (-∞, -3) la derivata è negativa quindi la funzione decresce
2. nell'intervallo (-3, 0) la derivata è negativa quindi la funzione decresce mentre in (0, 3) la derivata è positiva quindi la funzione cresce; ne consegue che x = 0 è un punto di minimo
3. nell'intervallo (3, +∞) la derivata è positiva quindi la funzione cresce

9. Grafico

https://www.desmos.com/calculator/atzoschq6l