[Risolto] Fra tutti i triangoli rettangoli nei quali la somma di un cateto e dell'ipotenusa misura

Nel triangolo rettangolo non degenere di lati
* 0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)
l'area S è il semiprodotto dei cateti
* S = a*b/2 ≡ a = 2*S/b ≡ b = 2*S/a
e la somma s fra un cateto e l'ipotenusa è
* s1 = a + c = a + √(a^2 + (2*S/a)^2) = k ≡ S = a*√((k - 2*a)*k)/2
oppure
* s2 = b + c = b + √((2*S/b)^2 + b^2) = k ≡ S = b*√((k - 2*b)*k)/2
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Quindi la funzione da massimizzare, col vincolo k > x > 0, è
* f(x) = y = x*√((k - 2*x)*k)/2 >= f(k/3) = k^2/(6*√3)
cioè, per k = 12,
* f(4) = 8*√3 ~= 13.856
che è proprio il risultato atteso.
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Dettagli
* f'(x) = (k - 3*x)*k/(2*√((k - 2*x)*k))
* f''(x) = (3*x - 2*k)*k^2/(2*((k - 2*x)*k)^(3/2))
il massimo si ha per
* (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0) & (k > x > 0) ≡
≡ ((k - 3*x)*k/(2*√((k - 2*x)*k)) = 0) & ((3*x - 2*k)*k^2/(2*((k - 2*x)*k)^(3/2)) < 0) & (k > x > 0) ≡
≡ (x = k/3) & ((3*k/3 - 2*k)*k^2/(2*((k - 2*k/3)*k)^(3/2)) < 0) & (k > x > 0) ≡
≡ (x = k/3) & (- 3*√3/2 < 0) ≡
≡ x = k/3
da cui
* f(k/3) = (k/3)*√((k - 2*k/3)*k)/2 = k^2/(6*√3)