formule duplicazione n122

TAN(2·α) = 2·TAN(α)/(1 - TAN(α)^2)

poniamo:

TAN(α) = Ω

Abbiamo quindi:

1° MEMBRO

(1 - Ω^2)/(2·Ω)·(2·Ω/(1 - Ω^2) - Ω/(1 - Ω))=

=1/2 - Ω/2 = (1 - Ω)/2

2° MEMBRO

(1 - Ω)/2   OK!!!

Duplicazione per la tangente:

tan(2α) = [2 tan α] / [1 - (tan α)^2]; (1)

1/[tan(2α)] * [tan(2α) - (tan α) / (1 - tan α);    (2);   sostituiamo la (1) nella (2).

[1 - (tan α)^2] /[2 tan α] * {[2 tan α] / [1 - (tan α)^2] - [(tan α) / (1 - tan α)]};

chiamiamo tan α = x;  per scrivere più in fretta; diventa:

[1 - x^2] /[2x]  * { 2x /[1 - x^2]  - [x /(1 - x)] } =

= {[1 - x^2] /[2x]}  * { 2x / [(1 - x) * (1 + x)]   -  [x / (1 - x)] } =

= {[(1 - x) * (1 + x)] / [2x]}  * { [2x - x * (1 + x)] / [(1 - x) * (1 + x)]} =

= {[(1 - x) * (1 + x)] / [2x]}  *  {[2x - x - x^2] / [(1 - x) * (1 + x)]};

si semplifica (1 - x) * (1 + x); resta:

= [1 /(2x)] * {[x - x^2] / 1} =

= [x * (1 - x)] / (2x) =

= (1 - x) / 2;   ( sostituendo  tan α = x), otteniamo: 

  = (1 -  tan α) / 2 . [Come dovevasi dimostrare].

Ciao @greggg