Salve, qualcuno mi può aiutare a capire questa formula generale per le derivate di un polinomio p^k(x)??? 🥺 p^k (x) = k!ak+(k+1)k...2a(k+1)x+...+n(n−1)...(n−k+1)anx
(n−k)
con ak si intende polinomio a con indice k
2ak+1 si intende polinomio 2a con indice k+1
Anx si intende polinomio a con indice n
Grazie mille
35
punti
Livello 0
La formula è piuttosto autoesplicativa, perché non si fa nient'altro che applicare la proprietà di derivazione di un polinomio generico. Si usa il fatto che la derivata di una somma equivale alla somma delle derivate dei singoli termini e (n>1)
$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$
Se si decidesse di prendere la derivata $k-esima$ di un generico polinomio in x, denotata con $x^{(k)}$, si trova proprio la formula in arancione. Infatti tutti i termini in x di ordine minore di k si annullanno, in quanto ad un certo punto diventano costanti e derivandoli diventano nulli. Rimangono in vita solo gli x con ordine maggiore o uguale a $k$, ossia maggiori o uguali alla derivata k-esima.
Ogni volta che si deriva una potenza di x, l'esponente appare come fattore moltiplicativo e si abbassa di uno il grado di x. Ad esempio, la derivata quinta (k=5) di $ax^8$
$d^{(5)} ax^8= a*8*7*6*5*4 x^3= a (n)(n-1)...(n-k+1)* x^{n-k}$
In questo modo trovi i coefficienti moltiplicativi di ciascun termine dell'espressione. (Con $k!$ si intende il fattoriale di k).
2837
punti
Livello 5
@lorenzo_belometti Grazie mille, però non mi è chiara un'unica parte della formula, questa qui :
perché si fa (k+1)+k...2ak+1x?? Ad esempio, sempre nel caso della derivata quinta di un polinomio di grado 8, verrebbe (5+1)+5=30...poi? cosa devo fare? grazie mille
