[Risolto] Forma indeterminata

Problema:

Calcola i seguenti limiti, nei quali si presenta la forma di indecisione $\frac{\infty}{\infty}$:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{4x}{5x-3}$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x²+1}$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x³+4}{x²-4x}$

Soluzione:

Quando la tendenza di $x$ è infinita e la funzione considerata è una frazione con al numeratore e al denominatore semplici polinomi, puoi approssimare il limite considerando solo i termini con il grado più alto. Ciò è dimostrabile raccogliendo tali termini come puoi vedere nel secondo limite.

$\lim_{x \to -\infty} \frac{4x}{5x-3}=\lim_{x \to -\infty} \frac{4x}{5x}=\lim_{x \to -\infty}\frac{4}{5}=\frac{4}{5}$

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x²+1}=\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x²(1+\frac{1}{x²})}=\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x+\frac{1}{x}}=\frac{1}{"\infty" + \frac{1}{"\infty"}}=\frac{1}{"\infty"+0}=\frac{1}{"\infty"}=0$

Non è stato necessario raccogliere anche al numeratore in questo caso. L'abuso della scrittura $∞$ è per fini didattici, evita di scriverlo.

$\lim_{x \to -\infty}\frac{x³+4}{x²-4x}=\lim_{x \to -\infty}\frac{x³}{x²}=\lim_{x \to -\infty}x=-\infty$.